第二章函数与基本初等函数Ⅰ第15课函数的综合应用课前热身激活思维[－1，＋∞)3.(必修1P45练习3改编)已知函数f(m)＝(3m－1)a＋b－2m，当m∈[0,1]时，f(m)≤1恒成立，则a＋b的最大值是________．1.函数部分要牢固掌握的常用方法和要点(1)求函数解析式的常用方法：直接法、待定系数法和换元法；(2)求函数最值和值域的常用方法：观察分析法、换元法、判别式法、不等式法和运用函数单调性的方法；(3)判断和证明函数单调性的常用方法：图象法、定义法、导数法和基本函数复合法；(4)判断和证明函数奇偶性的常用方法：定义法和图象法；(5)要善于运用函数的图象和性质审视方程和不等式问题，关注函数、方程、不等式三者之间的内在联系．2.关于函数的奇偶性与单调性．对于奇偶性的考查形式主要有：由解析式判断奇偶性或已知奇偶性求解析式中的参数的值．单调性的考查形式主要有：求单调区间，证单调性，利用单调性比较大小或求最值，或已知单调性求参数的取值范围等．3.关于初等函数，常考查指数函数和对数函数、含绝对值的函数、分式函数、无理函数的图象与性质，涉及上述函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等．4.解决基本初等函数的问题时，可考虑画出有关图形，如函数图象、数轴等，解决有关函数的论证题时，要注意数学探究的常见方法，论证问题中的综合法、分析法、反证法等．课堂导学(2016·皖北模拟)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,2]上是单调递增的，那么f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是__________________．【解析】由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，因为函数f(x)是偶函数，所以f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又因为f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－6.5)＜f(－1)．【精要点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的周期性，灵活运用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．已知函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a为常数)．(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2)若a>2，求函数f(x)的最小值．【解答】(1)由已知得f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.函数与方程的综合(2)若g(x)－f(x)＝0有两个不相等的实数根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．因为f(x)＝－x2＋2ex＋t－1＝－(x－e)2＋t－1＋e2，其图象的对称轴为直线x＝e，最大值为t－1＋e2，故当t－1＋e2>2e，即t>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．所以t的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．变式(2)记方程①：2＝x＋a(x>0)，方程②：x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根⇒a<2，方程①没有实数根⇒a≥2.【精要点评】在解决函数与方程问题时，要注意使用函数的性质，如函数的单调性、奇偶性、周期性等，有时需要结合图形解决．涉及函数的零点判断时，要把握住函数图象与x轴交点的横坐标的关系，掌握好函数零点的存在性定理．本题还可以借助函数y＝f(x)和y＝x＋a的图象数形结合解题．与指对数函数有关的综合问题【思维引导】解方程的关键在于等价转化，如第(1)问转化为方程有两个相异的大于1的根；第(2)问探究函数的最值是否与参数a无关的问题要对参数分类讨论，又要对自变量分域讨论．(2)g(x)＝a|x|＋2ax，x∈[－2，＋∞)．①当a>1时．ⅰ)当x≥0时，ax≥1，g(x)＝3ax，所以g(x)∈[3，＋∞)．②当0<a<1时．ⅰ)若当x≥0时，0<ax≤1，g(x)＝3ax，所以g(x)∈(0,3]．【精要点评】对于含参数的函数的性质研究是江苏高考的热点之一，要学会分类讨论，把握好分类的标准，做到不重不漏，同时还要把握好分类讨论的时机．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)若x∈[1,4]，求函数h(x)＝[f(x)＋1]g(x)的值域；【解答】(1)令t＝log2x，则h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(t－1)2＋2，因为x∈[1,4]，所以t∈[0,2]，所以h(x)∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]．课堂评价c<a<b