第二章函数与基本初等函数Ⅰ第6课函数的单调性课前热身1.(必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是______．(填序号)①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数；②若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上不是单调减函数；③若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间[0，＋∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数；④若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间(0，＋∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数．【解析】根据单调性的定义，结合函数图象分析．2.(必修1P55习题8改编)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调减区间是________．3.(必修1P44习题4改编)已知函数y＝f(x)是定义在R上的单调减函数，那么满足f(2－a2)＜f(a)的实数a的取值范围为________．【解析】因为f(x)在R上是单调减函数，所以由f(2－a2)＜f(a)，可得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.4.(必修1P44习题2改编)若函数f(x)＝x2－mx＋3在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围为________．1.函数单调性的定义(1)一般地，对于____________的函数f(x)，如果对于属于这个区间的_______两个自变量x1，x2，当______时，都有___________(或都有__________)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的__________；若函数是增函数，则称该区间为______；若函数为减函数，则称该区间为________．2.复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有_______，并且具有这样的规律：_________________________________．3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法(1)____________________；(2)_______________；(3)_______________．课堂导学函数单调性的判断与证明【精要点评】证明函数单调性的基本步骤：(1)设变量；(2)作差(作商)，变形；(3)定号；(4)下结论．其中(2)(3)是解答问题的关键．在遇到其他综合问题时，也可以使用图象法、复合函数单调性规律等方法来求解问题．变式又因为0＜x1＜x2≤1，所以x1x2＞0，x1x2－1＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在区间(0,1]上是单调减函数．【思维引导】利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．因为函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以f(x1)－f(x2)>0.又x1<x2<－1，所以x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，所以a＋1<0，即a<－1.故实数a的取值范围是(－∞，－1)．【精要点评】已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解．需要注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．变式1变式2抽象函数的单调性【解答】(1)方法一：因为函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．因为当x>0时，f(x)<0，又x1－x2>0，所以f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此函数f(x)在R上是减函数．方法二：设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．因为当x>0时，f(x)<0，又x1－x2>0，所以f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在R上为减函数．(2)因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)和f(3)．又f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，