PAGEPAGE11一元二次方程的代数运用一、选择题1.（2018四川绵阳，8，3分）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为A.9人B.10人C.11人D.12人【答案】C.【解析】解：设这次参加酒会的人数为x人，根据题意可得，解得x1=11，x2=-10（舍去）.故选C.【知识点】一元二次方程的运用1.（2018江苏省宿迁市，8，3）在平面直角坐标系中，过点（1，2）作直线l．若直线l与两坐标轴围成的面积为4，则满足条件的直线l的条数是（）A．5B．4C．3D．2【答案】C【思绪分析】设直线l的解析式为y＝kx＋b，∵l过点（1，2），∴2＝k＋b，b＝2－k．∴y＝kx＋2－k．与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，2－k）．∴与坐标轴围成的面积S＝·丨2－k丨＝8．解得k1＝－2，k2＝6＋4，k3＝6－4，故选C．【知识点】一次函数，一元二次方程2.（2018山东省泰安市，10，3）一元二次方程根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3【答案】D【解析】一是可以利用一元二次方程的求根公式进行计算，再根据结果进行各项判断；二是可以利用一元二次方程与二次函数的图象关系进行判断。解法一：整理得：，解得：，故选D.解法二：设，画出草图（如右图）：二次函数与一次函数的交点所对应的横坐标即为方程的根，故选D【知识点】一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程的关系.二、填空题1.（2018山东省日照市，14，4分）为创建“国家生态园林城市”某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米.设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为.【答案】x(x+40)=1200【解析】设绿地宽为x米，则绿地长为（x+40）米.根据矩形的面积公式，可列方程为x(x+40)=1200.【知识点】一元二次方程的运用2.（2018贵州安顺，T14，F4）若是关于x的完全平方式，则m=_______.【答案】7或-1【解析】∵是关于x的完全平方式，∴（m-3）²=16.解得m=7或-1.【知识点】完全平方式的特点，解一元二次方程.3.（2018四川自贡，15，4分）若函数的图象与轴有且只需一个交点，则的值为.【答案】－1【解析】∵函数的图象与轴有且只需一个交点，∴一元二次方程有两个相等的实根，即，∴.【知识点】函数与方程，一元二次方程根与系数的关系三、解答题1.（2018四川省南充市，第20题，8分）已知关于的一元二次方程.（1）求证：方程有两个不相等的实数根.（2）如果方程的两实数根为，，且，求的值.【思绪分析】(1)根据题意，利用根的判别式公式可得代数式，整理化简即可.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，用含m的式子表示出x1+x2和x1x2的值，再代入，化简整理即可.【解题过程】解：(1)根据题意，得：=[－(2m－2)]2－4(m2－2m)＝4＞0，3分∴方程有两个不相等第实数根.4分(2)由一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2=2m－2，x1x2=m2－2m，5分∵，∴.6分∴(2m－2)2－2(m2－2m)=10.化简，得m2－2m－3=0，解得：m1=3，m2=－1.∴m的值为3或－1.8分【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数第关系；完全平方公式2.（2018·重庆B卷，23，10）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2018年前5个月最少要建筑多少个沼气池？（2）到2018年5月底前，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且建筑的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，建筑每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1﹕2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上添加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，建筑每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别添加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别添加5a%，8a%．求a的值．【思绪分析】（1）根据“沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍”列不等式，并求不等式的最小整数解即可；（2）先求出到2018年5月底前，该县建筑的沼气池40个，建筑垃圾集中