PAGEPAGE8一元二次方程的几何运用一、选择题1.（2018贵州安顺，T6，F3）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A.12B.9C.13D.12或9【答案】A【解析】解x2-7x+10=0，得x=2或5.已知在等腰三角形中，有两腰相等，且两边之和大于第三边，∴腰长为5，底边长为2.∴该等腰三角形的周长为5+5+2=12.【知识点】解一元二次方程，三角形两边的和大于第三边.二、填空题1.（2018湖北黄冈，12题，3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为__________【答案】16【解析】解该方程得x1=3，x2=7，由于两边长为3和6，所以第三边x的范围为：6-3<x<6+3，即3<x<9，所以舍去x1=3，即三角形的第三边长为7，则三角形的周长为3+6+7=16【知识点】解一元二次方程，三角形三边关系2.（2018江西，12，3分）在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为________．【答案】2，2eq\r(3)，eq\r(14)－eq\r(2)【解析】∵PD＝2AP，∴设AP＝x，则PD＝2x，①当P在AD边上时，如解图①，∵AD＝6，∴AP＋PD＝6，∴x＋2x＝6即x＝2，∴AP＝2②当P在DC上时，如解图②在Rt△ADP中，AP＞PD，PD≠2AP，第12题解图①第12题解图②③当P在BC边上时，如解图③，DP最大为6eq\r(2)，AP最小为6，PD≠2AP，④当P在AB上时，如解图④，在Rt△ADP中，AP2＋AD2＝PD2，∴x2＋62＝(2x)2，解得x1＝2eq\r(3)，x2＝－2eq\r(3)(舍)，∴AP＝2eq\r(3)；第12题解图③第12题解图④第12题解图⑤第12题解图⑥⑤当P在AC对角线上时，如解图⑤，在Rt△ADC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝6eq\r(2)，∴AO＝eq\f(1,2)AC＝3eq\r(2)，在Rt△PDO中，PO＝3eq\r(2)－x，PD＝2x，DO＝AO＝3eq\r(2)，∴PD2＝PO2＋DO2，(2x)2＝(3eq\r(2))2＋(3eq\r(2)－x)2，解得x1＝eq\r(14)－eq\r(2)，x2＝－eq\r(14)－eq\r(2)(舍)，∴AP＝eq\r(14)－eq\r(2)；⑥当P在DB对角线上时，如解图⑥，在Rt△APO中，AP2＝AO2＋PO2，∴x2＝(2x－3eq\r(2))2＋(3eq\r(2))2，整理得：x2－4eq\r(2)x＋12＝0，∴(－4eq\r(2))2－4×1×12＝－16＜0，∴方程无解，综上所述：AP＝2或2eq\r(3)或eq\r(14)－eq\r(2)【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理3.（2018浙江省台州市，16，5分）如图，在正方形中，，点，分别在，上，，，相交于点.若图中暗影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为．【答案】【思绪分析】经过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“暗影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明ΔBCE≌CDF，一是可以得到ΔBCG是直角三角形，二是可以得到ΔBCG的面积，进而求出；利用勾股定理可以求出，这样就可以求出，因而ΔBCG的周长就可以表示出来了.【解题过程】∵在正方形ABCD中，AB=3，∴，∵暗影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1:3，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°∵CE=DF,∴ΔBCE≌CDF(SAS)∴∠CBE=∠DCF,∵∠DCF+∠BCG=90°,∴∠CBE+∠BCG=90°,即∠BGC=90°，ΔBCG是直角三角形易知，∴，∴，根据勾股定理：，即∴，∴，∴ΔBCG的周长=BG+CG+BC=【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答题1.（2018浙江杭州，21，10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD。（1）若∠A