PAGEPAGE95知识点20二次函数几何方面的运用1.（2018贵州遵义，17题，4分）如图，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE、DF，则DE+DF的最小值为______第17题图【答案】【解析】点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，所以DE、DF是△PBC的中位线，DE=PC，DF=PB，所以DE+DF=(PC+PB)，即求PC+PB的最小值，由于B、C为定点，P为对称轴上一动点，点A、B关于对称轴对称，所以连接AC，与对称轴的交点就是点P的地位，PC+PB的最小值等于AC长度，由抛物线解析式可得，A(-3,0)，C(0,-3)，AC=，DE+DF=(PC+PB)=【知识点】三角形中位线，勾股定理，二次函数，最短距离成绩2.．（2018江苏淮安，14，3）将二次函数y=x2-1的影象向上平移3个单位长度，得到的影象所对应的函数表达式是.【答案】y=x2+2【解析】由平移规律“左加右减”、“上加下减”，可得平移后的解析式.解：.由平移规律，直线y=x2-1向上平移3个单位长度，则平移后直线为y=x2-1+3即y=x2+2故答案为y=x2+2．【知识点】二次函数图象与几何变换3.（2018山东省泰安市，17，3）如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为．【答案】【解析】，由可以知道线段DE、EC的数量关系，，则由勾股定理，可以将DE、EC用含x的代数式来表示，由点是的中点，则,从而列出与之间关系式.解：∵∴设，由勾股定理得：.∵，∴∴∵点是的中点∴故答案是：【知识点】三角函数，勾股定理，三角形中线性质，二次函数.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1.（2018湖北鄂州，23，12分）如图，已知直线与抛物线相交于A(-1，0)，B（4，m）两点，抛物线交y轴于点C（0，），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；（3）点Q为x轴上一动点，点N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD（点Q与点M对应），求Q点的坐标．【思绪分析】（1）将B（4，m）一次函数的关系式即可解得点B的坐标，再将A、B、C三点的坐标代入二次函数关系式即可求出其关系式，再将其化为顶点式就能得到点M的坐标；（2）过点P作PE⊥x轴，交AB于点E，交x轴与点G，过点B作BF⊥x轴于点F，则S△CDE＝PE·AF，求出直线AB的关系式，设点P的坐标为（m，），则点E的坐标为（m，），即可得到S△CDE的函数关系式，将其化为顶点式即可求出最大值；（3）由勾股定理的逆定理可证得△MAD是等腰直角三角形，则QMN也是等腰直角三角形，从而得到点Q的坐标．【解析】解：（1）将B（4，m）代入得，，∴B（4，），将A(-1，0)，B（4，），C（0，）代入得，解得，∴抛物线的解析式为，，故顶点M的坐标为（1，－2）；（2）如下图（1），过点P作PE⊥x轴，交AB于点E，交x轴与点G，过点B作BF⊥x轴于点F，∵A(-1，0)，B（4，），∴AF＝4―（―1）＝5，设直线AB的关系式为y＝kx＋b，设点P的坐标为（m，），则点E的坐标为（m，），∵点P为直线AB下方，∴PE＝（）－（）＝，∴S△CDE＝S△APE＋S△BPE＝PE·AG＋PE·FG＝PE·（AG＋FG）＝PE·AF＝×5（）＝，∴当时，△PAB的面积最大，且最大面积为，当时，，故此时点P的坐标为（，）；（3）∵抛物线的解析式为，，∴抛物线的对称轴为：直线x＝1，又∵A(-1，0)，∴点D的坐标为（3，0），又∵M的坐标为（1，－2），∴AD＝3―（―1）＝4，AD2＝42＝16，AM2＝（―1―3）2＋（―1―3）2＝8，DM2＝（3―1）2＋（―2―0）2＝8，∴AD2＝AM2＋DM2，且AM＝DM，∴△MAD是等腰直角三角形，∠AMD＝90°，又∵△QMN∽△MAD，∴△QMN也是等腰直角三角形且QM＝QN，∠MQN＝90°，∠QMN＝45°，又∵∠AMD＝90°，∴∠AMQ＝∠QMD＝45°，此时点D（或点A）与点N重合，（如下图（2）