2022年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(此题共5小题，每题3分，总分值15分，把答案填在题中横线上)xxz(1)设zfxy,g，其中f,g均可微，那么.yyxdx(2).1exe2x1111(3)假设四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为,,,，那么行列式2345B1E.13,x[0,1](4)设随机变量X的概率密度为f(x)29,x[3,6]0其他2假设k使得P{Xk}，那么k的取值范围是31,若X0(5)假设随机变量X在区间[1,2]上服从均匀分布，随机变量Y0,若X01,若X0那么方差D(Y).二、选择题(此题共5小题，每题3分，共15分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设对任意的x，总有(x)f(x)g(x)，且limg(x)(x)0，那么limf(x)xx()(A)存在且一定等于零.(B)存在但不一定等于零.(C)一定不存在.(D)不一定存在.(2)设函数f(x)在点xa处可导，那么函数f(x)在点xa处不可导的充分条件是()(A)f(a)0且f(a)0(B)f(a)0且f(a)0(C)f(a)0且f(a)0(D)f(a)0且f(a)0(3)设,,是四元非齐次线性方程组AXb的三个解向量，且秩(A)3，1，2，3，4T，12310,1，2，3T，c表任意常数，那么线性方程组AXb的通解X()231110121321212324(A)c(B)c(C)c(D)c3132343541434546(4)设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，那么对于线性方程组(I):AX0和(II):ATAX0，必有()(A)(II)的解是(I)的解，(I)的解也是(II)的解.(B)(II)的解是(I)的解，但(I)的解不是(II)的解.(C)(I)的解不是(II)的解，(II)的解也不是(I)的解.(D)(I)的解是(II)的解，但(II)的解不是(I)的解.(5)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的.在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电〞，而0TTTT为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，那么事件E等于事件(1)(2)(3)(4)()(A)Tt(B)Tt(C)Tt(D)Tt(1)0(2)0(3)0(4)0三、(此题总分值6分)求微分方程y2ye2x0满足条件y(0)0,y(0)1.四、(此题总分值6分)x2y2计算二重积分d,，其中D是由曲线yaa2x2(a0)和直4a2x2y2D线yx围成的区域五、(此题总分值6分)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是P18Q,P12Q,1122其中P和P分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，Q和Q分别表示该产品1212在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总本钱函数是C2Q5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即QQQ12(1)如果该企业实行价格差异策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差异策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.六、(此题总分值7分)arctanx求函数y(x1)e2的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.七、(此题总分值6分)设I4sinnxcosxdx,n0,1,2,,求I.nn0n0八、(此题总分值6分)设函数f(x)在0,上连续，且f(x)dx0,f(x)cosxdx0，试证明：在(0,)00内至少存在两个不同的点,，使f()f()0.1212九、(此题总分值8分)设向量组，(a,2,10)T,(2,1,5)T,(1,1,4)T