基础知识自主学习基础知识自主学习题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.()题组二教材改编2.[P99B组T1]在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于A.1B.2C.3D.43.[P96A组T2]已知{an}满足an＋1＝，n∈N*，且a1＝2，则a2＝__，a3＝__，a4＝__，猜想an＝______.解析则上述证法A.过程全部正确B.n＝1验证得不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析题型分类深度剖析1.用数学归纳法证明：证明(1)当n＝1时，所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式恒成立.证明证明(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论成立.由(1)(2)可知当n≥2，n∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1].用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证当n＝n0时等式成立.(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.证明则当n＝k＋1时，数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.证明证明①当n＝1时，x1＝2，f(x1)＝－3，Q1(2，－3).所以直线PQ1的方程为y＝4x－11，即xk＋1<xk＋2，所以2≤xk＋1<xk＋2<3，即当n＝k＋1时，结论成立.由①②知对任意的正整数n，2≤xn<xn＋1<3.下面用数学归纳法证明.②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.当a≤1时，φ′(x)≥0(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增.又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，当a>1时，对x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)<φ(0)＝0.即当a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，命题点2与数列有关的证明问题典例(2018·东营模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝，an>0(n∈N*).猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.解分别令n＝1,2,3，得∵a2>0，∴a2＝2.(ⅱ)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，ak＝k，那么当n＝k＋1时，命题点3存在性问题的证明再由题设条件知(an＋1－1)2－(an－1)2＝1.从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，所以当n＝k＋1时结论成立.解答则an＋1＝f(an).假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即a2k<c<a2k＋1<1.易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)<f(a2k＋2)<f(a2)＝a3<1，故c<a2k＋3<1.因此a2(k＋1)<c<a2(k＋1)＋1<1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立.假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即0≤ak≤1.由①及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得a2k＋1＝f(a2k)>f(a2k＋1)＝a2k＋2，a2(k＋1)＝f(a2k＋1)<f(a2k＋2)＝a2(k＋1)＋1.这就是说，当n＝k＋1时②成立，所以②对一切n∈N*成立.(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.(2)“归纳—猜想—证明”的