基础知识自主学习数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确.那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.5.(教材改编)已知{an}满足an＋1＝－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝____，a3＝___，a4＝___，猜想an＝______.题型一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立.(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.跟踪训练1(2017·南京质检)用数学归纳法证明：题型二用数学归纳法证明不等式证明数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.跟踪训练2若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤xn<xn＋1<3.题型三归纳—猜想—证明命题点1与函数有关的证明问题命题点2与数列有关的证明问题例4在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0).(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明.命题点3存在性问题的证明例5设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*).(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论.(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.典例(14分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想.返回2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是____.①假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立；②假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题成立；③假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立；④假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题成立.5.(2016·盐城质检)利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是_________.7.设S1＝12，S2＝12＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明Sn＝时，第二步从“k”到“k＋1”应添加的项为__________.8.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝____；当n>4时，f(n)＝______________(用n表示).解答(2)若0<c≤，证明：数列{xn}是递增数列.11.已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.*12.设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N*，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明.