2024年入学研究生考试数学一试卷一、选择题：第1~10小题，每小题5分，共50分.下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1.已知函数,,则()A.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数B.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数c.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)与g(x)均为周期函数【答案】C【解析】由于ecost是偶函数，所以f(x)=(Xecostdt是奇函数，0又g(x)=e(sinx)²cosx是偶函数，所以g(x)是奇函数.故选C.2.设P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z)均为连续函数，乙为曲面√1x²y²,z=--(x≤0y≥0)的上侧，则A.B.C.D.【答案】Azz√1-x2-y2,dX【解析】转换投影法，=三一③xz’故选A.3.已知幂级数”的和函数为ln(2+x),则ABC.D.【答案】A【解析】方法1:所以，,当n>09故选A.方法2:9S(0)=C=1n(2+0)=ln2所以，故选A.4.设函数f(x)在区间(-1,1)上有定义，且0,则()A.兰对，f'(0)=mB.当f(0)=m时，C.兰对，f'(0)=mD.当f'(0)=m时，【答案】B【解析】因为f'(0)=m,所以f(x)在x=0处连续，从而0,所以故选B.对于A选项，,推不出来f"(0)=m;对于C选项，f'(x)在x=0处不一定连续；对于D选项，f'(x)在x=0处极限未必存在.5.在空间直角坐标系O-xyz中，三张平面π:a,x+by+c;z=d,(i=1,2,3)的位置关系如图所示，,记a=(a,,b,c),β=(a,b,c,d;),若,,则(),;A.m=1,n=2B.m=n=2C.m=2,n=3D.m=n=3【答案】B【解析】由题意知有无穷多解，故又由存在两平面的法向量不共线即线性无关，故r,则2,故m=n=2,故选B.6.设向量,若a,a2,a3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则()A.a=1,b≠-1B.a=1,b=-1C.a≠-2,b=2D.a=-2,b=2【答案】D【解析】由于aj,a2,α3线性相关，故r(ay,α2,a3)<3,故)得a=1或-2,当a=1时，αj,a,线性相关，与题意矛盾，故a=-2,又由,得b=2,故选D.7.设A是秩为2的3阶矩阵，α是满足Aa=0的非零向量，若对满足β⁷α=0的3维列向量β,均有Ap=β,则()A.A³的迹为2B.A³的迹为5C.A²的迹为8D.A²的迹为9【答案】A【解析】由Aa=0且α≠0,故入=0,设非零向量β,β2线性无关(因为与α垂直的平面中一定存在两个线性无关的向量)且满足β⁷α=B2⁷α=0,则AB=β,AB2=β,又由β,β,线性无关，故入=1至少为二重根，故入=0,22=入=1,故A³的特征值为0,1,1,故tr(A³)=0+1+1=2,故选A.8.设随机变量X,Y相互独立，且X服从正态分布N(0,2),Y服从正态分布N(-2,2),若P{2X+Y<a}=P{X>Y},则a=()A.-2-√10B.-2+√10c.-2-√6D.-2+√6【答案】B【解析】2X+Y～N(-2,10),Y-X～N(-2,2²),,于是,a=-2+√10.故选B.9.设随机变量X的概率密度为,在X=X(0<x<1)的条件下，随机变量Y服从区间(x,1)上的均匀分布，则Cov(X,Y)=()B.C.D.【答案】D【解析】当O<x<1时，.故选D.10.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为入的指数分布，令Z=|X-Y|,则下列随机变量与Z同分布的是()A.X+YB.C.2XD.X【答案】D【解析】令Z=X-Y|,则Fz(z)=P{Z≤z}=P{|X-Y≤z}当z<0时，Fz(z)=0;当z≥0时，所以.显然Z=|X-YI与X同分布.故选D.二、填空题：第11~16小题，每小题5分，共30分.11.老,则a=__【答案】6【解析】,故a=6.12.设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，且dflouj=3du+4dv,令y=f(cosx,l+x²),则=【答案】5.【解析】由dflau)=3du+4dv知，f'(1,1)=3,f((1,1)=4.则13.已知函数f(x)=x+1,若【答案】【解析】由题意可得将f(x)在