2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及解析一、选择题：1～8小题,每题4分,共32分．以下每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．f(x)asinf(x)sina(1)设limb，那么lim()xaxaxaxa(A).bsina(B).bcosa(C).bsinf(a)(D).bcosf(a)【答案】B【解析】sinf(x)sinasinf(x)sinaf(x)alimlimcosf(x)bbcosf(a)xaxaxaf(x)axaxasinf(x)sinasinusina设f(x)u，那么lim=limcosucosf(a)xaf(x)auf(a)uauf(a)那么sinf(x)sinasinf(x)sinaf(x)asinf(x)sinaf(x)alimlimlimlimxaxaxaf(x)axaxaf(x)axaxa=bcosa1ex1ln1x(2)函数f(x)，那么第二类间断点个数为〔〕(ex1)(x2).(A).1(B).2(C).3(D).4【答案】C【解析】此题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一般步骤为：1.找出无定义的点〔无意义的点〕；2.求该点的左右极限；3.按照间断点的定义判定。第二类间断点的定义为f(x),f(x)至少有一个不存在，很显然f(x)不存在的点为00x1,x0,x1,x2。在x1处，limf(x),limf(x)；x1x11在x0处，limf(x)limf(x)=；x0x0+2e11在x1处，limex10，limex1，limf(x)0，limf(x)；x1x1x1x1+在x2处，limf(x)，limf(x)+；x2x2+所以，第二类间断点为3个。f(x)(,)(3)对奇函数在上有连续导数，那么()(A).xcosf(t)f(t)dt是奇函数0(B).xcosf(t)f(t)dt是偶函数0(C).xcosf(t)f(t)dt是奇函数0.(D).xcosf(t)f(t)dt是偶函数0【答案】：A【解析】f(x)为奇函数，那么其导数f(x)为偶函数，又cosx为偶函数，那么cosf(x)cosf(x)，那么cosf(x)为偶函数，故cosf(x)f(x)为偶函数，以0为下限、被积函数为偶函数的变限积分函数为奇函数。所以，此题选A;对于C和D选项，f(x)为偶函数，那么cosf(x)cosf(x)为偶函数，f(x)为奇函数，那么cosf(x)f(x)既非奇函数又非偶函数。(4).幂级数na(x2)n的收敛区间为(2,6)，那么a(x1)2n的收敛区间为nnn1n1(A).(-2,6)(B).(-3,1)(C).(-5,3)(D).(-17,15)【答案】Ba(x1)2n2a【解析】由比值法可知，幂级数收敛时，limn1limn1(x1)21na(x1)2nnanna那么要求a(x2)2n的收敛区间，只需要求出limn1的值即可，nnan1n而条件告诉我们幂级数na(x2)n的收敛区间为(2,6)，即收敛半径为4nn1(n1)an1aa1limn1limn1limn1nnannana4nnn.a1那么limn1(x1)2n(x1)21，即3x1na4n所以此题选B。(5)设4阶矩阵A(a)不可逆，a的代数余子式A0，α,α,α,α为矩阵A的列向ij12121234量组，A*为A的伴随矩阵，那么A*x0的通解为〔〕〔A〕xkαkαkα〔B〕xkαkαkα112233112234〔C〕xkαkαkα〔D〕xkαkαkα112334122334【答案】〔C〕【解析】A(a)不可逆知，A0及r(A)4；由A0知A*O且α,α,α线性ij12134无关〔无关组的延长组仍无关〕，故r(A)3及r(A*)1，故A*x0的根底解系含有3个向量。由A*AAE