2021年全国硕士研究生招生考试数学（三）真题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）ᵆ2（1）当ᵆ→0时，∫(ᵅᵆ
3−1)ᵅ
ᵆ
是ᵆ7的（）0（A）低阶无穷小（B）等阶无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等阶无穷小【答案】C.【解析】因为当ᵆ→0时，2∫ᵆ(ᵅᵆ
3−1)ᵅ
ᵆ
(ᵅᵆ6−1)⋅2ᵆ2ᵆ7lim0=lim=lim=0ᵆ→0ᵆ7ᵆ→07ᵆ6ᵆ→07ᵆ6ᵆ2所以，∫(ᵅᵆ
3−1)ᵅ
ᵆ
是ᵆ7的高阶无穷小.0【思路】在无穷小比较中，若涉及到定积分，常用求导的方式先将积分符号化掉.有时也可用积分中值定理将积分符号化掉.ᵆ2∫(ᵅᵆ
3−1)ᵅ
ᵆ
=(ᵅᵰ6−1)⋅ᵆ2,其中ᵰ位于0,ᵆ之间.0则当ᵆ→0时，ᵰ→ᵆ→0，则有ᵆ2∫(ᵅᵆ
3−1)ᵅ
ᵆ
∼(ᵅᵆ6−1)⋅ᵆ2∼ᵆ80ᵅᵆ−1,ᵆ≠0（2）函数ᵅ(ᵆ)={ᵆ，在ᵆ=0处（）1,ᵆ=0（A）连续且取得极大值（B）连续且取得极小值（C）可导且导数等于零（D）可导且导数不为零【答案】D.【解析】先考虑连续性.当ᵆ→0时，ᵅᵆ−1ᵆlim=lim=1=ᵅ(0)ᵆ→0ᵆᵆ→0ᵆ所以，ᵅ(ᵆ)在ᵆ=0处连续.然后考虑可导性.当ᵆ→0时，ᵅᵆ−1ᵅ(ᵆ)−ᵅ(0)−1ᵅᵆ−1−ᵆᵅᵆ−11lim=limᵆ=lim=lim=ᵆ→0ᵆ−0ᵆ→0ᵆᵆ→0ᵆ2ᵆ→02ᵆ2所以，ᵅ(ᵆ)在ᵆ=0处可导且导数不为零.1【思路】判断一元函数在某个点处连续、可导、取极值情况时，应依次判断连续性、可导性、极值情况。本题中，当一阶导数不为0时，根据极值的必要条件可知，函数ᵅ(ᵆ)在ᵆ=0处不取极值.ᵄ（3）函数ᵅ(ᵆ)=ᵄᵆ−ᵄlnᵆ,(ᵄ>0)有2个零点，则的取值范围（）ᵄ（A）(ᵅ,+∞)（B）(0,ᵅ)（C）(0,1)（D）(1,+∞)ᵅᵅ【答案】A.【解析】考虑ᵅ(ᵆ)在定义域ᵆ>0上的单调性.ᵄᵅ′(ᵆ)=ᵄ−ᵆᵄᵅ′(ᵆ)的零点是ᵆ=.ᵄ若ᵄ≤0，则ᵅ(ᵆ)在定义域内是单调递增函数，此时ᵅ(ᵆ)在定义域内最多只有1个零点，因此ᵄ>0.ᵄᵄ显然ᵅ(ᵆ)在(0,)上单调递增，在(,+∞)上单调递减.ᵄᵄᵅ(0+)=limᵅ(ᵆ)=lim(ᵄᵆ−ᵄlnᵆ)=+∞,ᵆ→0+ᵆ→0+ᵄlnᵆᵅ(+∞)=limᵅ(ᵆ)=lim(ᵄᵆ−ᵄlnᵆ)=limᵆ(ᵄ−)=limᵄᵆ=+∞ᵆ→+∞ᵆ→+∞ᵆ→+∞ᵆᵆ→+∞ᵄ因为ᵅ(0+)、ᵅ(+∞)均大于0，要保证有两个零点，ᵅ()必小于0.则有ᵄᵄᵄᵄᵅ()=ᵄ−ᵄln=ᵄ(1−ln)<0ᵄᵄᵄᵄ所以，>ᵅ.ᵄ【思路】结合函数的单调性来讨论函数的零点情况.（4）设函数ᵅ(ᵆ,ᵆ)可微，ᵅ(ᵆ+1,ᵅᵆ)=ᵆ(ᵆ+1)2，ᵅ(ᵆ,ᵆ2)=2ᵆ2lnᵆ，则ᵅ
ᵅ(1,1)=（）（A）ᵅ
ᵆ+ᵅ
ᵆ（B）ᵅ
ᵆ−ᵅ
ᵆ（C）ᵅ
ᵆ（D）−ᵅ
ᵆ【答案】C.【解析】ᵅ(ᵆ+1,ᵅᵆ)和ᵅ(ᵆ,ᵆ2)分别对ᵆ求导.ᵅ
ᵅ(ᵆ+1,ᵅᵆ)=ᵅ′+ᵅ′⋅ᵅᵆ=(ᵆ+1)2+2(ᵆ+1)ᵆ=(ᵆ+1)(3ᵆ+1)①ᵅ
ᵆ12ᵅ
ᵅ(ᵆ,ᵆ2)=ᵅ′+ᵅ′⋅2ᵆ=4ᵆlnᵆ+2ᵆ②ᵅ
ᵆ122考虑到ᵅ
ᵅ(1,1)=ᵅ′(1,1)ᵅ
ᵆ+ᵅ′(1,1)ᵅ
ᵆ，故①式中的ᵆ取0，②式中的ᵆ取1，则12有ᵅ′(1,1)+ᵅ′(1,1)=112ᵅ′(1,1)+2ᵅ′(1,1)=212解得，ᵅ′(1,1)=0,ᵅ′(1,1)=1.所以ᵅ
ᵅ(1,1)=ᵅ
ᵆ.12【思路】从全微分公式ᵅ
ᵆ=ᵅ′(ᵆ,ᵆ)ᵅ
ᵆ+ᵅ′(ᵆ,ᵆ)ᵅ
ᵆ入手，只需求出ᵅ′(1,1)和ᵅ′(1,1)即ᵆᵆᵆᵆ可.（5）二次型ᵅ(ᵆ,ᵆ,ᵆ)=(ᵆ+ᵆ)2+(ᵆ+ᵆ)2−(ᵆ−ᵆ)2的正惯性指数与负惯性指123122331数依次为（）（A）2,0（B）1,1（C）2,1（D