第二章函数与基本初等函数Ⅰ第10课指数式与指数函数课前热身激活思维3.(必修1P67练习1改编)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________.【解析】由题意得a2－3a＋3＝1且a＞0，a≠1，所以a＝2.4.(必修1P52习题1改编)当x>0时，指数函数f(x)＝(a－1)x，且(a－1)x<1恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】因为x>0时，(a－1)x<1恒成立，所以0<a－1<1，即1<a<2.5.(必修1P52习题1改编)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象如图所示，那么a＋b＝________.【解析】由图可知，此函数过点(2,0)和(0，－3)，则有a2＋b＝0，且1＋b＝－3，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2.1.指数中的相关概念(1)n次方根正数的奇次方根是一个________，负数的奇次方根是一个______，0的奇次方根是_____；正数的偶次方根是两个绝对值_____、符号_____的数，0的偶次方根是____，负数___________________．a2.指数函数的图象和性质课堂导学指数幂的运算【精要点评】指数幂化简与求值的原则及要求：(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．化简下列各式(a>0，b>0)：【思维引导】按照分数指数幂的运算性质求解，含根式的化成分数指数幂后再计算或化简．【精要点评】若式子中既有分数指数幂、又有根式，则可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算．在指数式运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法公式．已知函数f(x)＝|2x－1|.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x＋1)与f(x)的大小．【思维引导】(1)对于y＝|2x－1|的图象，我们通过y＝2x的图象翻折得到，在翻折指数函数图象时一定要注意渐近线也要随之翻折，作出f(x)的图象，数形结合求解．(2)在同一平面直角坐标系中分别作出f(x)，f(x＋1)的图象，数形结合求解．【精要点评】(1)指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．(3)函数y＝ax，y＝|ax|和y＝a|x|的关系：函数y＝ax与y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式，函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象重合．画出函数y＝2|x|的图象，其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．【解答】当x≥0时，y＝2|x|＝2x；所以函数y＝2|x|的图象如图所示．由图象可知，y＝2|x|的图象关于y轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调减区间是(－∞，0]，单调增区间是[0，＋∞)．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的图象如图所示，那么a＋b的值是________．指数函数的性质(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，【精要点评】求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．对于形如y＝ag(x)的复合函数，关于单调区间有以下结论：当a>1时，函数y＝ag(x)的单调性和y＝g(x)的单调性相同；当0<a<1时，函数y＝ag(x)的单调性和y＝g(x)的单调性相反．变式1(2)若x>0，且ax<bx<1(a>0，b>0)，则a与b的大小关系是________．【解析】取x＝1，则有a<b<1.变式2指数函数的综合应用【解答】(1)由ax－1≠0，得ax≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．(2)对于定义域内任意x，有变式因为指数函数y＝2x在R上是增函数，且x1<x2，所以2x1<2x2，即2x1－2x2<0.又由2x>0，得2x1＋1>0,2x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以对于任意实数a，f(x)均为增函数．已知函数f(x)＝2x.(1)求函数F(x