高考中档题训练(12)1.(2014嘉兴一模)已知函数f(x)=2sin(x+)cosx.(1)若x∈[0,],求f(x)的取值范围;(2)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A为锐角,f(A)=,b=2,c=3,求cos(A-B)的值.解:(1)f(x)=(sinx+cosx)cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+,∵x∈[0,],∴2x+∈[,],-≤sin(2x+)≤1.∴f(x)∈[0,1+].(2)由f(A)=sin(2A+)+=,得sin(2A+)=0,又A为锐角,所以A=,又b=2,c=3,所以a2=4+9-2×2×3×cos=7,a=.由=,得sinB=,又b<a,从而B<A,cosB=.所以,cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=×+×=.2.18.（本小题满分12分）已知数列满足，其中(Ⅰ)设，求证是等比数列，并求的通项公式；(Ⅱ)求证：对任意的，能被64整除.【知识点】等比数列；数学归纳法：整除问题.【答案解析】(1)略（2）略解析：解：（1）又又是以27为首项，3为公比的等比数列，证明：方法一：二项式定理能被64整除。方法二：数学归纳法则：都能被64整除能被64整除，即时命题也成立综上可得：对任意的能被64整除【思路点拨】根据递推关系找出等比关系，可通过求出，证明整除就是转化成64的被数形式.3.(2014杭州外国语学校)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形,AE>1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD.(1)若AE=2,求证:AC∥平面BDE;(2)若二面角ADEB为60°,求AE的长.(1)证明:分别取BC,BA,BE的中点M,F,P,连接DM,MF,FP,DP,则MF∥AC,FP∥AE,且FP=AE=1,因为BD=CD,BD⊥CD,BC=2,M为BC的中点,所以DM⊥BC,DM=1.又因为平面BCD⊥平面ABC,所以DM⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC,所以DM∥AE,所以DM∥FP,且DM=FP,因此四边形DMFP为平行四边形,所以MF∥DP,所以AC∥DP.又AC⊄平面BDE,DP⊂平面BDE,所以AC∥平面BDE.(2)解:法一取BC中点M,过M作MN⊥ED,交ED的延长线于N,连接BN,AM,DM,因为BC⊥AM,BC⊥DM,所以BC⊥平面DMAE,因为ED⊂平面DMAE,所以BC⊥ED.所以ED⊥平面BMN,又BN⊂平面BMN,所以ED⊥BN.所以∠MNB为二面角AEDB的平面角,即∠MNB=60°,在Rt△BMN中,BM=1,则MN=,BN=.在Rt△MND中,DN=.设AE=h+1,则DE=,所以NE=+,又BE=,在Rt△BNE中,BE2=BN2+NE2,即(h+1)2+22=()2+(+)2,解得h=,所以AE=+1.法二由(1)知DM⊥平面ABC,AM⊥MB,建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz.设AE=h,则M(0,0,0),B(1,0,0),D(0,0,1),A(0,,0),E(0,,h),=(-1,0,1),=(-1,,h),设平面BDE的法向量n1=(x,y,z),则所以令x=1,所以n1=(1,,1).又平面ADE的法向量n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>===.解得h=+1,即AE=+1.4.(2013·湖南高考)(本题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．(7分)P42454851Y