第四讲极限运算一、四则运算定理设limf(x)=A,limg(x)=B,则有无穷小量比较x→<>x→<>(1)lim[cf(x)]=cA一、四则运算定理x→<>(2)lim[f(x)+g(x)]=A+B二、复合函数的极限定理x→<>(3)lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅B三、无穷小量与无穷大量x→<>f(x)A(4)lim=(g(x)≠0,B≠0)四、无穷小量的比较x→<>g(x)B五、求极限举例注：x→<>表示x趋向任意值.2011-9-512011-9-52[证]（3）设limf(x)=A,limg(x)=Blimf(x)=A,limg(x)=B⇒∀ε>0,∃δ1>0,x→xx→xx→x0x→x000ε要证什么？∀ε>0,∃δ>0,当使0<x−x<δ,有f(x)−A<012(1+B)时ε0<x−x0<δ,f(x)⋅g(x)−AB<ε∃δ>0,使0<x−x<δ,有g(x)−B<2022Mf(x)⋅g(x)−AB取δ=min{δ0,δ1,δ2}=[f(x)⋅g(x)−Bf(x)]+[Bf(x)−AB]∀ε>0,∃δ>0,使0<x−x0<δ,同时有εεf(x)≤M,f(x)−A<,g(x)−B<≤f(x)⋅g(x)−Bf(x)+Bf(x)−AB2(1+B)2M=f(x)g(x)−B+Bf(x)−A从而有f(x)⋅g(x)−AB≤f(x)g(x)−B+Bf(x)−Alimf(x)=A⇒∃M>0,∃δ0>0,使x→x0εε有≤M⋅+B⋅<ε∀x:0<x−x0<δ0,f(x)≤M2M2(1+B)2011-9-532011-9-54[证]由已知limf(x)=A,故二、复合函数的极限定理x→x0∀ε>0,∃δ1`>0,0<x−x0<δ1,都有f(x)−A<ε设limg(t)=x0,limf(x)=A.且t→t0x→x0又因为limg(t)=x0,故对上述δ1>0,t→t0当t≠t0时,g(t)≠x0,则limf(g(t))=A.t→t0∃δ>0,使0<t−t0<δ,都有g(t)−x0<δ1要证什么？又已知,当t≠t0时,x≠x0,因而有0<x−x=g(t)−x<δ要证:∀ε>0,∃δ>0,当0<t−t0<δ时,001都有f(g(t))−A<ε综上,∀ε>0,∃δ>0,0<t−t0<δ,都有f(g(t))−A<ε即limf(g(t))=A2011-9-552011-9-5t→t061注[]条件:“t≠t0时,g(t)≠x0”的作用三、无穷小量与无穷大量看证明，从理论上，非此不行！（一）定义⎧1,x≠01定义1：在某个变化过程中,极限为零看例子：f(x)=⎨,g(t)=tsin⎩0,x=0t的变量,称为在此变化过程中的无穷小量（无穷小）。limf(x)=1,limg(t)=0x→0t→0若变量是数列{an},且liman=0,则数列考察：limf[g(t)]=?n→∞x→0就是趋向无穷时的无穷小量t→0时,有{an}n;{g(tn′)}：各项均为零f[g(tn′)]→0若变量是函数f(x),且limf(x)=0,则x→<>{g(t′′)}：各项均不为零f[g(t′′)]1nn→f(x)就是x趋向于<>时的无穷小量.2011-9-5所以limf[g(t)]不存在！72011-9-58x→0例如：⎧1⎫⎧n⎫⎧1⎫定义2：在某个变化过程中,绝对值无限,,,都是无穷小量.⎨⎬⎨2⎬⎨n⎬变大的变量,称为在此变化过程中的⎩n⎭⎩n+1⎭⎩2⎭无穷大量（无穷大）。x2,sinx,tanx,1−cosx,tanx−sinx∀G>0,∃δ>0,使当0<x−x<δ时,都是x→0时的无穷小量.01π有f(x)>G,则称f(x)当x→x时为,e−x,−arctanx都是0x22无穷大.记作limf(x)=∞x→+∞时的无穷小量.x→x0∀G>0,∃δ>0,使当0<x−x<δ时,[注意]：无穷小量是极限为零的变量！0即，绝对值无限变小的变量。有f(x)>G,则称f(x)当x→x0时为无穷小量不是绝对值很小的数！正无穷大.记作limf(x)=+∞x→x02011-9-592011-9-510（二）无穷小与无穷大的性质[例]1y=1xlim=∞性质1：若在自变量的同一个变化过程中,x→0xf(x)和g(x)都是无穷小,则在此变化1olim=+∞过程中,cf(x)(c为常数),f(x)+g(x)x→0+x和f(x)g(x)都是无穷小.1lim=−∞注意：性质1只可以推广到有限个函数x→0−x112ny=[例]lim(2+2+L+