高中物理辅导网http://www.wulifudao.com/京翰教育中心http://www.zgjhjy.com/物理奥林匹亚竞赛试题与解答文/林明瑞一、在吹肥皂泡的过程中，一方面肥皂泡的表面积经历从无(近乎为零)到有，从小到大的变化；另一方面在肥皂泡的膨胀过程中，由于泡内的气体压力较外界大，相当于将一定质量，在一大气压下的空气压缩入肥皂泡中，其过程可视作是等温压缩过程。现在把肥皂泡吹成一个表面积为的球形，肥皂泡外的大气压力为1大气压（=），假设肥皂液的表面张力（不随肥皂泡的大小而变化），回答下列问题：因肥皂泡的内外表面积增大，外力为克服皂液表面张力所作的功为何？在最后平衡状态时，肥皂泡内部和外部的空气压力差为何？将一定质量的空气压缩入肥皂泡内，在等温压缩过程中，外力所需作的功为何？若不考虑其它能量的损失，在本题中的外力吹肥皂泡所需作的总功为何？(a)小题中所作的功占总功的百分比为何？【注】你也许需要用到下列数学公式：F（适用于）解：取肥皂泡膜上一任意形状的面积，如右图所示，液体表面张力作用于边长为的力为。若施加外力，使该液体面积增大至虚线所示的位置，则图中的力F所须作的功为(1)式中为图中斜线所标示的极小面积，由于肥皂泡有内外两层，故所需的力。就整个液体面积而言，为克服表面张力所作的总功为(2)当肥皂泡的表面积由零增加至时，外力为克服液体表面张力所作的总功为(3)由(2)式可知表面张力的物理意义，乃系使液体表面每增加一个单位面积，外力所需作的功；或液体表面每单位面积所所储存的位能。若球形肥皂泡的半径为，则其表面积为。当半径增加时，液面所增加的表面积为，故外力为克服液体表面张力所作的总功为，式中的因子2是考虑皂膜有内外两层。此功正好等于皂膜膨胀时，其内部和外部的气体压力差所作的功，即(4)式中Pi为肥皂泡内的气体压力，Po则为肥皂泡外的大气压力。由上式可得(5)当肥皂泡的表面积为时，其半径r为(6)由(5)式可得肥皂泡内外的气体压力差为【注】：有关肥皂泡内外的空气压力差，在下一题中有另解。由于题设在吹肥皂泡的过程中，为等温压缩过程，所以个别气体分子的动能没有变化。设N为流入肥皂泡内的总分子数，这些分子在一大气压P0下所占的总体积为V0。将肥皂泡吹胀，泡内的气体压力必须较外界的大气压力大，因此吹肥皂泡的过程，相当于将这些空气分子（压力为P0，体积为V0）压缩入肥皂泡的内部，最后泡内的空气压力和体积分别Pi和V。这一段等温压缩过程所需作的功为(7)由于，利用(5)式，上式可改写为(8)利用(6)式，可计算得(9)由于，又，(8)式可近似为(10)在上式中，已利用了(3)式的结果，。吹肥皂泡所作的总功W，可分成两部分：一为克服皂膜表面张力所作的功W1；另一为吹入空气，相当于(c)小题中的等温压缩过程，所需作的功W2，故W1所占总功的百分比为。二、将一根内半径为1.0mm的均匀毛细管，插入一半径为5.0cm的球形肥皂泡内，使球泡内的空气缓缓地经由毛细管流出到大气中。问：(a)证明肥皂泡内外的压力差为，式中P0为大气压力，为皂液的表面张力，r为肥皂泡的半径。(b)若流经毛细管的空气可适用白努利定律，则从插入毛细管算起，经多少秒后，肥皂泡将消失？（皂液的表面张力，空气的密度。）解：考虑肥皂泡上半球的受力情形，如右图所示。图中F0为大气压力作用于肥皂泡外表面的合力，F为肥皂泡内部空气作用于内表面的合力，为皂液（有两层）表面张力作用内外表面的合力。设肥皂泡的半径为r，其内的空气压力为P，大气压力为P0，由静力平衡可得(1)当球泡内的空气经由毛细管流出时，由白努利定律可得(2)由毛细管流出的空气体积等于肥皂泡所缩小的体积，即(3)式中A为毛细管的截面积。将(1)和(2)两式代入(3)式，得将上式积分得