实验4追逐问题4.1实验问题四个人甲、乙、丙、丁分别位于边长为10米的正方形ABCD的四个顶点处．在某一时刻，四人同时出发以匀速v按顺时针方向跑向下一个人．在行进过程中，如果他们始终保持对准目标，问他们的追逐路线是怎样的？试用计算机求出追逐过程中每个人的行进轨迹．4.2符号说明t：追逐的时间，单位为秒t0：开始追逐的时间，单位为秒tn：终止追逐的时间，单位为秒(x1,y1):甲在t时刻处于的坐标位置(x2,y2):乙在t时刻处于的坐标位置(x3,y3):丙在t时刻处于的坐标位置(x4,y4):丁在t时刻处于的坐标位置ABCDxy4.3问题分析与求解建立如图坐标系，则有甲在t=0时刻处于的坐标位置为(0,0)、乙在t=0时刻处于的坐标位置为(0,10)、丙在t=0时刻处于的坐标位置为(10,10)、丁甲在t=0时刻处于的坐标位置为(10,0)。为了用计算机模拟追逐过程中每个人的行进轨迹，考虑追逐在发生较小时间间隔情况下，每个人的变化位置。先考虑甲追乙的情况：在时刻t，甲的坐标为(x1,y1),乙的坐标为(x2,y2)，则甲乙之间的距离按题意，甲乙位置坐标的连线确定了甲的追逐方向1，显然有当追逐又延续了时间间隔t后,假设时间间隔t较小，有甲的坐标变为(x1+vtcos1,y1+vtsin1)类似地，有在在时刻由t变到t+t时，乙的坐标变为：(x2+vtcos2,y2+vtsin2)丙的坐标变为：(x3+vtcos3,y3+vtsin3)丁的坐标变为：(x4+vtcos4,y4+vtsin4)设开始追逐的时间t0=0，将整个追逐时间分为n等份，每一个时间采样间隔为t=tn/n,这样我们可以在每个追逐的时间进行t后利用如上公式依次算出每个人位置变化的坐标，然后用小直线段分别连接每个人的位置坐标，画出相应的图形就可以看到计算机模拟出的追逐路线。在模拟过程中，使用由四个元素组成的表robit存储每个人在追逐过程中的坐标，而表robit的第一个元素robit[[1]]存储甲在追逐过程中的坐标序列，第二个元素robit[[2]]存储乙在追逐过程中的坐标序列，第三个元素robit[[3]]是存储丙在追逐过程中的坐标序列，第四个元素robit[[4]]是存储丁在追逐过程中的坐标序列。对应的通用程序如下tn=Input["追逐终止时间tn="]dt=Input["小时间间隔dt="]v=Input["追逐速度v="]n=tn/dtrobit={{{0,0}},{{0,10}},{{10,10}},{{10,0}}};For[j=1,j<=n,j++,For[i=1,i<=4,i++,xx1=robit[[i,j,1]];yy1=robit[[i,j,2]];If[i!=4,xx2=robit[[i+1,j,1]];yy2=robit[[i+1,j,2]],xx2=robit[[1,j,1]];yy2=robit[[1,j,2]]];dd=Sqrt[(xx2-xx1)^2+(yy2-yy1)^2]//N;xx1=xx1+v*dt*(xx2-xx1)/dd;yy1=yy1+v*dt*(yy2-yy1)/dd;robit[[i]]=Append[robit[[i]],{xx1,yy1}]]];g=Graphics[{Line[robit[[1]]],Line[robit[[2]]],Line[robit[[3]]],Line[robit[[4]]],Line[{{0,0},{0,10},{10,10},{10,0},{0,0}}]}];Show[g,AspectRatio->1];执行如上程序后，按提示依次键盘输入"追逐终止时间tn="、"小时间间隔dt="、"追逐速度v=",计算机就会给出追逐轨迹图。为了看到追逐轨迹，执行如上程序后，按提示依次键盘输入9、0.02、1,计算机就会给出如下追逐轨迹图：图5-1tn=9秒，dt=0.02秒、v=1米/秒的追逐轨迹如果执行如上程序后，按提示依次键盘输入10、0.02、1,计算机就会给出如下追逐轨迹图：图5-2tn=10秒,dt=0.02秒,v=1米/秒的追逐轨迹图。从计算机模图中可以清楚地看到追逐最终将安螺旋状曲线汇合于一点。本题是采用计算机模拟的方法来求解的。在实际问题中，有时在真实的系统中做实验时，可能时间较长，或费用太高，或危险太大，使实验难以进行．此时可以用计算机模仿实物系统，对实物系统的结构和行为进行动态的演示，以评估或预测系统的行为效果，为决策提供信息，这种处理方法就叫计算机模拟，也称为计算机仿真．4.