第五讲图像变换2离散余弦变换3.2.1离散余弦变换的定义式中是第个余弦变换系数，是广义频率变量，；是时域N点序列，二维离散余弦变换的定义由下式表示式(3—77)是正变换公式。其中是空间域二维向量之元素。，是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为N×N二维离散余弦反变换由下式表示78大家有疑问的，可以询问和交流10余弦变换与傅里叶变换有什么关系？写成矩阵式同理，可得到反变换展开式3.2.2离散余弦变换的正交性在高等数学中，切比雪夫多项式的定义为式中是和的多项式。它的第N个多项式为显然，这与一维DCT的基向量是一致的。因为切比雪夫多项式是正交的，所以DCT也是正交的。另外，离散余弦变换的正交性也可以通过实例看出。如前所示，当N＝４时，3.2.3离散余弦变换的计算(3—89)式中是取其实部的意思。如果把时域数据向量作下列延拓，即：(3—91)由式(3—91)可见同样道理，在作反变换时，首先在变换空间，把作如下下延拓由式(3—93)可见，离散余弦反变换可以从的2N点反傅里叶变换实现。3.3离散K-L变换图像协方差矩阵X向量的协方差矩阵CX定义为直接求矩阵CX的特征值和特征向量很困难。这是因为CX是N2×N2维矩阵，尽管图像的大小N可能不是很大的，但N2却是很大的数据。这样求其特征向量和特征值速度较慢。但如果样本图象个数M不太多，可以先计算出M×M维方阵L＝ATA的特征值μk和特征向量vkK-L变换的性质和特点（3）对角性K-L变换的最大优点是去相关性好，可用于数据压缩和图像旋转主要困难是由于协方差矩阵CX求特征值λ和特征向量解方程的计算量大，同时K-L变换是非分离的，二维不可分，一般情况下，K-L变换没有快速算法实例图像的归一化1、进行图像旋转，以使Er和El的连线ErEl保持水平。这保证了人脸方向的一致性，体现了人脸在图像平面内的旋转不变性经过校准，不仅在一定程度上获得了人脸表示的几何不变性，而且还基本上消除了头发和背景的干扰。K-L变换设A是一秩为r的n×r维矩阵，则存在两个正交矩阵：由于∑可表示为：将特征值从大到小排序：λ0≥λ1≥…≥λr-1，其对应的特征向量为ui。这样，每一幅人脸图像都可以投影到由u0,u1…,uM-1张成的子空间中。因此每一幅人脸图像对应于子空间中的一个点，同样，子空间中的任一点也对应于一幅图像特征脸