数列求和的运算1．等比数列a的公比为2，且a,a2,a成等差数列.n234(1)求数列a的通项公式；n(2)若blogaaa，求数列b的前n项和T.n2nn1nnn【答案】(1)a2n,nN*(2)Tn22n2n12;nn【详解】（1）已知等比数列a的公比为2，且a,a2,a成等差数列，n2342a2aa，32424a22a8a,解得a2，1111a22n12n,nN*;n（2）blog2n2n12nlog22n12n2n12n，n22212nT212nn2222n212nn.n12n22n2n12;2．正项数列a的前n项和为S，已知2aSa21．nnnnn(1)求证：数列S2为等差数列，并求出S，a；nnn(1)n(2)若b，求数列b的前2023项和T．nan2023n【答案】(1)Sn；ann1；(2)T2023.nn2023【详解】（1）由2aSa21可得，2S2S21，nnn11又因为S为正项数列a的前n项和，所以Sa1，nn11因为aSS，所以2SSSSS21，nnn1nn1nnn1所以S2S21n2，数列S2为等差数列，nn1n1n1所以S2n，Sn，a，所以ann1.nnnnn1n2n(1)n（2）b(1)nnn1，nanT1213243202320222023.20233．已知数列a为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取a1，接n1着复制该项粘贴在后面作为a，并添加后继数2作为a；再复制所有项1，1，2并粘贴在23后面作为a，a，a，并添加后继数3作为a，…依次继续下去.记b表示数列a中n首4567nn次出现时对应的项数.(1)求数列b的通项公式；n(2)求aaaa.12363【答案】(1)b2n1(2)120n【详解】（1）由题意知：b2b1，即b12(b1)，且b12，n1nn1n1所以数列{b1}是以b12为首项，2为公比的等比数列，n1所以b12n，则b2n1.nn（2）由（1）可知，b26163，所以6在前63项中出现1次，65在前63项中出现2次，4在前63项中出现224次，3在前63项中出现428次，2在前63项中出现8216次，1在前63项中出现16232次，所以aaaa13221638445261120.123634．已知等差数列a的前n项和为S,a5,S15，nn55(1)求数列a的通项公式；n1(2)若b，求数列b的前2023项和.naannn12023【答案】(1)an(2)n2024a4d51【详解】（1）设公差为d，由a5，S15，得54，解得ad1，555151ad12所以an.n1111（2）由（1）可得b，naann1nn1nn1111所以aaaaaa122320232024111111202311，22320232024202420242023故数列b的前2023项和为.n20245．已知a是首项为2，公差为3的等差数列，数列b满足b4,b3b2n1.nn1n1n(1)证明bn是等比数列，并求a,b的通项公式；nnn(2)若数列a与b中有公共项，即存在k,mN*，使得ab成立.按照从小到大的顺序nnkm将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作c，求ccc.n12n【答案】(1)证明见解析，a3n1nN*，b3nnnN*nn927n1n3n1(2)nN*262【详解】（1）由题意可得：a2n133n1nN*，n而b4,b3b2n1，变形可得：bn13b3n3bn,b13，1n1nn1n