版权所有翻版必究2019年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题参考答案及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）当x0时，若xtanx与xk是同阶无穷小，则kA.1.B.2.C.3.D.4.【答案】C1【解析】由泰勒公式可知，当x0时，tanxxx3o(x3)，则311xtanxx3o(x3)x3，故k3.故本题选C.33（2）已知方程x55xk0有3个不同的实根，则k的取值范围是A.（，4）.B.（4，）.C.{4，4}.D.（4，4）.【答案】D【解析】令yx55xk，则f（x）5x45.令f（x）0得x1.当x（，1），（1，）时，f（x）0；当x（11，）时，f（x）0.所以函数的单调递增区间为（，1），（1，），函数的单调递减区间为（11，）。计算每个单调区间的端点值可得lim（fx），（f1）k4，（）f1k4，lim（fx），xx则要使（fx）有3个不同的实根，必有k40且k40，即k(4,4).故本题选（D）.1中公学员内部专用版权所有翻版必究（3）已知微分方程yaybycex的通解为y(CCx)exex，则12a，b，c依次为A.1，0，1.B.1，0，2.C.2，1，3.D.2，1，4.【答案】D【解析】由通解形式可知，特征方程2ab0有两个相同的实根1，可得a2，b1.又由于ex是非齐次方程的特解，将其代入可得4excex，所以c4.v（4）若nu绝对收敛，n条件收敛，则nnn1n1A.uv条件收敛.B.uv绝对收敛.nnnnn1n1C.(uv)收敛.D.(uv)发散.nnnnn1n1【答案】B【解析】因为nu绝对收敛，所以（knu）也绝对收敛（其中k为非零常数）.nnn1n1vv因为n条件收敛，所以由级数收敛的必要条件可知，limn0.nnnn1v由数列极限的有界性可知，存在常数M0，使得nM.nv因为uv=nunMnu，且Mnu收敛，则由比较判别法可知，nnnnnnn1uv收敛，即uv绝对收敛.nnnnn1n12中公学员内部专用版权所有翻版必究（5）设A为4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则r(A*)=A.0.B.1.C.2.D.3.【答案】A【解析】因为方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，所以4（rA）2，即（rA）241，则（rA*）0.（6）设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2A2E，且A4，则二次型xTAx的规范形为A.y2y2y2.B.y2y2y2.123123C.y2y2y2.D.y2y2y2.123123【答案】C【解析】由A2A2E可得A的特征值满足22，故A的特征值为1或2.又A4，所以A的三个特征值满足4，可知A的特征值为1,2,2.其123正惯性指数为1，负惯性指数为2，xTAx的规范形为y2y2y2，故本题选C.123（7）设A，B为随机事件，则P(A)P(B)的充分必要条件为A.P(AB)P(A)P(B).B.P(AB)P(A)P(B).C.P(AB)P(BA).D.P(AB)P(AB).【答案】C【解析】由减法公式可知P(AB)P(A)P(AB)，P(BA)P(B)P(AB).可知P(A)P(B)的充要条件是P(AB)P(BA).故本题选C.3中公学员内部专用版权所有翻版必究（8）设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N(,2)，则P{|XY|1}A.与无关，而与2有关.B.与有关，而与2无关.C.与，2都有关.D.与，2都无关.【答案】A【解析】已知XN(,2),YN(,2)，且X，Y相互独立，则XY也服从正态分布且E(XY)0,D(XY)D(X)D(Y)22，因此XYN(0,22)，XY则N(0,1)，因此2|XY|11XY1P{|X