第8讲模糊关系（第四章模糊关系与模糊聚类分析）一、模糊关系1.普通关系（1）直积（笛卡尔积，Descartes）定义4.1给定集合，由中元素和中元素搭配起来的所有元素对构成的集合称为与的直积，或笛卡尔（Descartes）乘积，记作，即类似地，可定义（2）关系现实世界中存在各种各样的关系。“父子关系”，“师生关系”，“数的大于等于关系”…特点：涉及两个集合，，与或者有关系，或者没关系，这就是普通关系。定义4.2给定论域，规定一个到的关系（记作），对任意，与有关系，记作，与无关系记作，二者必居其一，且仅居其一。当时，称为上的关系。对元素间的搭配施加某些限制，构成的集合就是的一个子集，这种联系就是所谓关系。定义4.2（等价定义）若，则称为到的关系。例4.1“大于等于“关系，记作“”，例4.2设表示教室里的全体男同学，表示教室里的全体女同学。表示什么？任意一个男同学和任意一个女同学组成的有序对构成的集合。“同系”关系记为，则，显然。这说明关系也是一个集合。一个男生，一个女生要么同系，要么不同系，因此同系关系也符合定义4.2。（3）常用性质（上的关系）①自反②对称③传递即，如果上的关系同时满足自反性，对称性和传递性，则称是等价关系，中的元素也称为等价。（4）分类（聚类）问题①②称是的一个划分或者说是的一个分类。例4.3设表示教室里全体同学，表示身高大于关系，表示性别相同关系，表示认识关系，表示年龄相等关系。检查这些关系具有哪些特性。解：按定义，具有传递性，不具有自反性，不具有对称性；具有自反性，不具有对称性，不具有传递性；和都是等价关系。一起举具有不同特性的关系！2.模糊关系（1）模糊关系概念定义4.3称的一个模糊子集确定了一个到的模糊（F）关系（记作），隶属度表示与有关系的程度。“朋友”关系，“信任”关系，“相像”关系…例4.4实数域上的“远远大于”关系，记作“”，隶书函数定义为：例4.5设某地区身高、体重论域分别为：（单位：厘米），（单位：公斤）。下表给出了一个表示身高与体重之间相互关系，它是一个模糊关系。表4-1身高与体重的模糊关系40506070801400.90.70.60.30.11500.70.90.80.50.21600.60.610.80.41700.30.30.810.71800.10.20.40.71（2）关系与运算由于F关系也是F集，所以F集之间的关系、运算以及性质对它一样成立。如：①相等②包含③并④交⑤余⑥分解定理其中，称为截关系。是普通关系，，有此时称与在水平上有关系，否则称为无关系。（3）F矩阵①定义4.4设，，是到的一个模糊关系。以为第行，第列元素构成的矩阵称为F矩阵，记作模糊矩阵也是普通矩阵，它表示从到的一个模糊关系，元素代表有关系的程度。模糊矩阵就是模糊关系，也是模糊集合，因此前面关于模糊关系（集合）的包含、相等、截集、并、交、余等定义、运算性质，以及分解定理等对模糊矩阵依然有效，不需要重新定义，只不过表现形式有所不同。到的全体F矩阵记为，特别地，有限论域上的全体F矩阵记为。部分性质如下：设，则有：；；；；；；，其中；。例4.6设则有：，显然。3.模糊关系的对称性与自反性（1）对称F关系①定义定义4.5设，令，则称为的转置关系。当论域有限时，上面定义为：称为的转置矩阵。定义4.6，若，则称为对称矩阵（F关系）。例4.7设则是对称矩阵。举对称模糊关系和非对称模糊关系“朋友”？“相像”？“信任”？②转置关系性质<a>；<b>；<c>；<d>，则是对称的；<e>，对称，，则由性质(d)，(e)得，包含的对称矩阵一定包含，故是包含的最小对称矩阵。③对称闭包定义4.7包含具有对称性的最小模糊关系称为的对称闭包，记作。<a>，且<b>④对称闭包求法性质(d)和(e)说明是的对称闭包。即（2）自反关系①定义4.8若则称为上的自反（F）关系。论域有限时称为自反（F）矩阵。是自反矩阵其中为单位矩阵。自反闭包定义4.9包含具有自反性的最小模糊关系称为自反闭包，记为。<a>，且<b>自反闭包求法(3)截矩阵①定义4.10设，，记其中则称为的截矩阵。截矩阵就表示截关系。可以类似定义。例4.8设若取，则若取，则②性质(1)(2)注意：第九讲模糊关系的合成与传递性二、F关系的合成1.合成运算(1)例子和定义例4.9设表示一群人，表示“兄弟”关系，表示“父子”关系。若且，那么与有什么关系？显然，应该是“