1．(2020·新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知，得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，如图，则由MB＝MC知，MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．2．(2020·郑州质检)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．(1)若eq\f(EC,CB)＝eq\f(1,3)，eq\f(ED,DA)＝1，求eq\f(DC,AB)的值；(2)若EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD.解：(1)∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，又∠AEB为公共角，∴△ECD∽△EAB，∴eq\f(DC,AB)＝eq\f(EC,EA)＝eq\f(ED,EB).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DC,AB)))2＝eq\f(EC,EA)·eq\f(ED,EB)＝eq\f(EC,EB)·eq\f(ED,EA)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).∴eq\f(DC,AB)＝eq\f(\r(2),4).(2)证明：∵EF2＝FA·FB，∴eq\f(EF,FA)＝eq\f(FB,FE)，又∵∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA＝∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD.3．(2020·海口调研)如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD.(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若tan∠CED＝eq\f(1,2)，⊙O的半径为3，求OA的长．解：(1)证明：如图，连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB.∵OC是圆的半径，∴直线AB是⊙O的切线．(2)由(1)知，直线AB是⊙O的切线，∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC，∴△BCD∽△BEC，∴eq\f(BC,BE)＝eq\f(BD,BC)，BC2＝BD·BE，∵tan∠CED＝eq\f(CD,EC)＝eq\f(1,2)，△BCD∽△BEC，∴eq\f(BD,BC)＝eq\f(CD,EC)＝eq\f(1,2)，设BD＝x，则BC＝2x，∵BC2＝BD·BE，∴(2x)2＝x(x＋6)，∴BD＝2，∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.4.(2020·云南统检)如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C，D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E.(1)求证：PA·PB＝PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半径等于2，求弦CF的长．解：(1)证明：如图，连接OD.∵AB是⊙O的直径，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，C在⊙O上，∴∠DOA＝∠DCF，∴∠POD＝∠PCE.又∵∠DPO＝∠EPC，∴△PDO∽△PEC，∴eq\f(PD,PE)＝eq\f(PO,PC)，即PD·PC＝PO·PE.由割线定理，得PA·PB＝PD·PC，∴PA·PB＝PO·PE.(2)由已知，直径AB是弦DF的垂直平分线，∴ED＝EF，∴∠DEH＝∠FEH.∵DE⊥CF，∴∠DEH＝∠FEH＝45°.由∠PEC＝∠FEH＝45°，∠P＝15°，得∠DCF＝60°.由∠DOA＝∠DCF，得∠DOA＝60°.在Rt△DHO中，OD＝2，DH＝ODsin∠DOH＝eq\r(3)，∴DE＝EF＝eq\f(DH,sin∠DEH)＝eq\r(6)，CE＝eq\f(DE,tan∠DCE)＝eq\r(2)，∴CF＝CE＋EF＝eq\r(2)＋eq\r(6).5．(2020·哈师附中、东北师大附中、辽宁实验中学联合模拟)如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，C是劣弧AB(不包括端点)上一点，直线PC交圆O于另一点D，Q在弦CD上，且∠DAQ＝∠PBC.求证：