第21，22，23讲第21讲.一字之差万里遥不定积分与定积分在词面上只差一字，但实际内容却相去甚远，本质上是两回事。f(x)的原函数与不定积分——已知函数f(x)，在某个区间上，导数恰是f(x)的那些函数，都称为f(x)的原函数。f(x)的全体原函数，就叫f(x)的不定积分。记为f()xdx∫求函数f(x)的不定积分，实际上是求解最简单的微分方程F′()()x=fx从理论上说，f(x)的原函数彼此之间只差一个常数。（潜台词：不同算法得到的原函数，可能有不同类形的函数表达式。让你对不上答案哦。）积分曲线——从几何上看，f(x)的原函数图形是一族曲线，它可以由其中一条曲线沿Y轴方向上、下平移而产生。给一个初始点，就确定一条积分曲线。又称为最简单微分方程的“初值解”。我们已经知道，奇函数的导数必是偶函数，偶函数的导数必是奇函数。但是在相反情形下，奇函数的原函数都是偶函数，而偶函数的原函数中，只能有一个是奇函数。这是因为，奇函数的图形平行移动后不可能再以原点为对称中心。画外音：在“定积分上限函数”部分，证明“（连续）奇函数的原函数都是偶函数。”）四个典型的不可积——还要记住的是，尽管连续函数都有原函数，（定积分上限函数求导定理将自然证明这个结论。）但相当一些初等函数没有初等形式的原函数。典型的如2sinxx1∫exdx，∫dx，∫dx，∫dxxlnx1+x4就都不存在初等形式的原函数。*认识深化——原函数存在与否的一个基本逻辑原函数存在性问题，远远超越了大纲。理解下面的知识链就相当不错了。在第14讲中，我对拉格朗日公式写有“**深入理解2——导函数在定义区间内不会有第一类间断点。”即若函数f(x)在区间(,)ab内可导，则在(,)ab内任意一点x0处，只要x→x0时，导函数f′()x的左右极限都存在，则由拉格朗日公式及极限唯一性定理，无论左右都必有f()()x0+Δx−fx0f′(x0)=lim=limf′(ξ)=limf′(x)，ξ在x与x0之间x→xΔx→0Δxx→x00这就表明函数f′()x在点x0连续。逆向思维，由此得到原函数存在与否的一个基本逻辑。即“若函数f(x)在区间（a，b）上有第一类间断点，则f(x)在（a，b）上没有原函数。”1有趣的是，“若f(x)在区间（a，b）上仅有第二类间断点，则f(x)在（a，b）上还可能有原函数。”用震荡因子很容易生成反例。如在第11讲之最后一段有⎧21⎧11函数⎪xsin,x>0，其导数⎪2xsin−cos,x>0f()x=⎨xf′()x=⎨xx⎩⎪0,x≤0⎩⎪0,x≤0右边的函数仅有第二类间断点x=0，它的原函数就在左边。定积分——定积分是计算某些具有可加性的目标量的数学模型。bbf()xdx既表达定积分运算指令，即“求函数f(x)在区间[a，b]上的定积分”；又表∫a示运算结果。即目标量的值。其中，我们限定函数f(x)在区间[a，b]上有界。（潜台词：必要时突破“双有界”（区间有界，函数有界。）的前提，那就叫广义积分。）n定积分是一个确定的数。是积分和当分法的模趋于零时∑f()ξjΔxjλ=max{Δxj}j=1的极限。这个极限值与区间的分法无关，与分点组{ξj}的选法无关。（潜台词：若函数f(x)在区间[a，b]上存在定积分，则改变f(x)于若干孤立点处的值，也不会影响定积分的值。）定积分的几何意义——可积函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，是相应的曲边梯形面积（x轴下方部份的面积记为负值）的代数和。（潜台词：别忘了！连续函数在两个相邻的零点之间不变号。其图形被它的零点分成了各自定号的若干段。）特别的，在对称区间[−a，a]上，（a>0），可积的奇函数，其定积分为0；而可积的偶函数，其定积分是它在[0，a]上定积分的两倍。“牛顿莱布尼兹公式”——尽管不定积分与定积分概念有质的差异，但是，通过对定积分上限函数（即变动面积函数）的研究，牛顿和莱布尼兹把计算可积函数f(x)在区间[a，b]上的定积分值，转化为bb求f(x)的任意一个原函数F(x)的增量，即有f()()()xdx=Fb−Fa∫a例1在下列等式中，正确的结果是（A）∫f′()()xdx=fx（B）∫df()()x=fxd（C）f()()xdx=fx（D）df()()xdx=fxdx∫∫分析df(x)=f′()xdx，（A）与（B）都是求f′()x的原函数。都等于f()x+C；由定义可知“f()xdx”的导数是f()x，而微分为f()xdx，故（D）错，答案（C）。∫2例2已知函数f(x