甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶油的质量是乙桶的倍，乙桶中原有油千克．某种商品按定价卖出可得利润元，若按定价的出售，则亏损元．问：商品的购入价是________元．种酒精浓度为，种酒精浓度为，种酒精浓度为，它们混合在一起得到了11千克浓度为的酒精溶液，其中种酒精比种酒精多3千克，则种酒精有千克．如图，在时钟的表盘上任意作个的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作个扇形将不能保证上述结论成立．对四位数，若存在质数和正整数，使，且，求这样的四位数的最小值，并说明理由．有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段．【解析】设工程总量为1，甲、乙、丙三人每天完成的工程量分别为、、，依题意，有：，解得：，，，则，甲完成的工程量为：，乙完成的工程量为：，丙完成的工程量为：，所以，甲应得元，乙应得元，丙应得元．原来甲桶油的质量是两桶油总质量的，甲桶中倒出5千克后剩下的油的质量是两桶油总质量的，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为千克，乙桶中原有油千克．该商品的定价为：(元)，则购入价为：(元)．设种酒精有千克，种酒精有千克，种酒精有千克，则：解得，，，故种酒精有7千克．在表盘上共可作出12个不同的扇形，且1～12中的每个数恰好被4个扇形覆盖．将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘．那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇形，必有个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆盖整个表盘．另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘．因为，，太大，所以．因为是3的幂，所以四个数字中不能包含3以外的质因子，也就是说只能含有1，3，9．观察可知恰好有，所以最小的这样的四位数是1399．设中间数是，则它们的和为，中间三数的和为．由于是平方数，设，则．是立方数，设，则，，即，，故，所以，那么，至少是225，中间的数至少是1125，这五个数中最小数的最小值为1123．经检验，当中间的数为1125时，它们的和为，中间三数的和为，满足题意，所以本题答案为1123．要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、100、101这101个自然数中2或3或5的倍数的个数，为：，故木棒上共有74个刻度，可以截出75段．