会计学对于图像变换T，引进算子T′作用(zuòyòng)在Y上，它将一个水平集X转换为另一个水平集T′X，即T′:X∈Y→T′X∈Y定义1：称图像变换T是单调递增的，如果对于任意两两幅图像u,v∈Fu≥v⇒Tu≥Tv集合算子T′是单调递增的，如果对于任意X,Y∈YX⊂Y⇒T′(X)⊂T′(Y)定义2：图像变换T是对比不变的，如果对每一个(yīꞬè)连续对比变换g，对任意的u∈F，都满足g(u)∈F和g(Tu)=T(g(u))同时满足单调性和对比不变的图像变换被称为形态学算子。可以证明：线性算子是单调的，但不是对比不变的。例1：最大值滤波是对比不变的。最大值滤波定义：其中(qízhōng)B是包含原点的闭集，x+B={x+z;z∈B}。假设，由于x+B为闭集，∃z∈x+B，满足u(z)=a，而u(y)≤u(z),∀y∈x+B又因为对比变换g是单调递增的，所以g(u(y))≤g(u(z))=g(a)∀y∈x+B即，对图像g(u)满足对比不变定义(dìngyì)D(gu(x))=g(a)=g(Du(x))对比不变的图像变换有一特殊性质，即变换的结果使图像保留了原图像的部分灰度。一副二值图像在经过对比不变图像变换后还是一副二值图像。但线性滤波器都不具备这一特性。下面定理说明了这一性质，记R(u)为图像u的值域，即R(u)={s∈[0,1],∃x,u(x)=s}其中Ru是包含R(u)的最小闭集。定理1：T是一对比不变的图像变换。那么对每一副图像u，R(Tu)⊂Ru，特别的，如果图像u只有有限个灰度值，则Tu只取其中的部分灰度值。证明：考虑一连续单调递增函数g，满足g(s)=s，当s∈Ru时。否则(fǒuzé)，g(s)﹥s。定义：g(s)=s+d(s,Ru)∕2其中d(s,X)表示s到X距离。当且仅当s∈Ru时，有d(s,Ru)=0因此，当且仅当s∈Ru时，g(s)=s，所以g(u)=u。因为T是对比不变的，所以Tu=T(g(u))=g(Tu)因此(Tu)(x)∈Ru。■定义3：一个图像(túxiànɡ)变换T是灰度平移不变的，如果对任意的常数C，有T(u+C)=Tu+C如果图像(túxiànɡ)变换T同时具有灰度平移不变性和对比不变性，就得到下面的结论。定理2：T是一个单调灰度平移不变算子，如果(rúguǒ)u(x)是R2上的Lipschitz函数，那么Tu(x)也是Lipschitz函数，并且Tu(x)的Lipschitz常数比u(x)的Lipschitz常数小。Lipschitz常数定义：如果(rúguǒ)函数u满足|u(x)–u(y)|﹤k|x-y|,∀x,y则u为Lipschitz函数，k为u的Lipschitz常数。证明：假设u的Lipschitz常数为K。对任意的x,y,z有|u(x+z)-u(y+z)|≤K|x-y|u(y+z)-K|x-y|≤u(x+z)≤u(y+z)+K|x-y|因为T单调，考虑上面关于z的函数，有T(u(y+z)-K|x-y|)≤Tu(x+z)≤T(u(y+z)+K|x-y|)注意到取z=0,有T(u(y+z))=(Tu)(y)，用T的灰度平移(pínɡyí)不变性（将K|x-y|看做C）得Tu(y)-K|x-y|≤Tu(x)≤Tu(y)+K|x-y|。|Tu(x)-Tu(y)|≤K|x-y|■6.1.2从形态学算子到集合算子记集合X⊂W上的特征函数为1x，即1x也被认为是一个(yīɡè)图像函数，即1x∈F。借助特征函数，可从单调、对比不变的图像变换（形态学算子）T衍生出一个(yīɡè)集合变换T′。定义(dìngyì)4：令T是一个单调、对比不变的图像变换，定义(dìngyì)T的伴随集合算子T′为∀X⊂W,1X∈FT′(X)=c1(T(1X))另外T′(F)=F,T′(W)=W如果T作为函数是单调的，那么T′作为集合变换也是单调的。因为X⊂Y⇒1X≤1YT作为单调的图像变换，使单调性得以保持T(1X)≤T(1Y)定理3：T是一个对比不变的单调算子。阈值函数gl(s)定义为,如果s≥l，则gl(s)=1；否则(fǒuzé)gl(s)=0。那么T几乎处处和每一个阈值函数相交换，即gl(Tu)=T(gl(u))对l,x几乎处处成立。证明：定义则gel(s)是对比变换（连续(liánxù)、单调递增的），且gel(s)≥gl，于是同样的方法，用不减函数gel≤gl，可证明T(gl(u))≥g-l(Tu)其中，g-l(s)=1，当s﹥l时；g-l(s)=0，当s≤l时。因此，有gl(Tu)≥T(gl(u))≥g-l(Tu)/我们考虑可数因而可忽略的子集∧∈R，所