一、引言第六讲导数与微分两个典型背景示例一、引言[例1]运动物体的瞬时速度二、导数定义与性质设汽车沿t轴作直线运动,若己知其运动规律(路程与时间的函数关系)为x=x(t)三、函数的微分求在时刻t0的瞬时速度.四、可导、可微与连续的关系五、基本导数（微分）公式ttt0t=t0+Δ2011-9-512011-9-52解求时段到的平均速度[](1)t0t0+Δt[例2]曲线的切线斜率问题x(t+Δt)−x(t)v(t,Δt)=00设曲线L,其方程为y=f(x)(a≤x≤b)0Δtf(x)∈C[a,b].(2)平均速度的极限是瞬时速度x0∈(a,b),求曲线L在点M0(x0,y0)的切线(其中,y0=f(x0)).x(t0+Δt)−x(t0)v(t0)=limΔt→0Δt什麽是曲线的切线？如果极限存在,这个极限值就是质点的瞬时速度.2011-9-532011-9-54(1)求区间x0到x0+Δx的割线斜率当N→M0时,割线的极限位置就是切线f(x0+Δx)−f(x0)k(x0,Δx)=yΔxN割线(2)割线斜率的极限是切线斜率L:y=f(x)f(x0+Δx)−f(x0)k(x0)=limΔx→0ΔxMT0切线(3)曲线L在点M0(x0,y0)的切线方程y=f(x)+k(x)(x−x)x000oxx+Δx2011-9-50052011-9-561二、导数定义与性质[注意1]导数的等价定义：1.导数定义：设函数y=f(x)在点x0的f(x0+Δx)−f(x0)某邻域有定义.如果极限f′(x0)=limΔx→0ΔxΔyf(x+Δx)−f(x)lim=lim00Δx→0ΔxΔx→0Δxf(x0+h)−f(x0)⇔f′(x0)=lim存在,则称函数f在x0可导,并称此h→0h极限值为函数f在x0的导数.记作f(x)−f(x)dfdy0⇔f′(x0)=limf′(x0),,x→xdxdx0x−x0x=x0x=x02011-9-572011-9-58例:线密度问题[注意2]导数的意义：设有一根由某种物质做成的细杆AB,导数是函数在一点的变化率求在断面M处细杆的线密度.ABMN几何意义切线斜率：k(x0)=f′(x0)oxx+Δxx导数f′(x0)是曲线y=f(x)在点设AM的质量是m(x)M0(x0,f(x0))处切线的斜率.MN的质量为m(x+Δx)−m(x)m(x+Δx)−m(x)瞬时速度：平均线密度v(t0)=s′(t0)Δxm(x+Δx)−m(x)物理意义ρ(x)=lim线密度：ρ(x)=m′(x)Δx→0Δx2011-9-592011-9-5102.单侧导数定义：3.导函数定义若函数在开区间上处处f(x0+Δx)−f(x0)•f(a,b)左导数lim=f−′(x0)Δx→0−Δx可导,则称f在开区间(a,b)上可导.f在x左可导0•若函数f在开区间(a,b)上可导,f(x0+Δx)−f(x0)且在点a右可导,在点b左可导,则称f右导数lim=f+′(x0)Δx→0+xΔ在闭区间[a,b]上可导.f在x0右可导若函数f在区间I上可导,则在区间定理：函数f在点x0可导⇔f在x0的左、右导数都存在且相等,即I上定义了一个新的函数f′(x),称为f的导函数.f′(x0)存在⇔f+′(x0)=f−′(x0)2011-9-5112011-9-5122三、函数的微分记作df(x0)=A⋅Δx或dy=A⋅Δx导数是从函数对自变量变化的速度来x=x0研究;而微分则是直接研究函数的增量，注意当确定点时微分是这有许多方便之处。[1]x0,df(x0)（一）函数的微分的定义Δx=x−x0的线性函数.设函数在点的某邻域有定义f(x)x0.[注意2]当Δx很小时,微分df(x0)可作为如果f(x)在点x0的增量可表示成增量Δf(x0)的近似值,其误差Δf(x0)=A(x0)⋅Δx+o(Δx)Δf(x0)−df(x0)则称函数f在点x0可微.是Δx的高阶无穷小.线性函数A⋅Δx称为函数f在点x0的微分.微分是增量的“线性主部”2011-9-5132011-9-514四、可导可微与连续的关系[证](1)设f(x)在点x0可导,即定理1:函数可微与可导是等价的Δf(x0)lim=f′(x0)Δx→0Δx(1)函数f(x)在点x0处可导,则它在由有极限函数与无穷小量的关系知点x0必可微,且A(x0)=f′(x0)即df(x0)=f′(x0)ΔxΔf(x)0=