【高考数学】2024年普通高等学校招生全国统一考试真题（全国甲卷·文）18．已知等比数列{a}的前n项和为S，且2S=3a-3.nnnn-1}的通项公式；（1）求{an}的前n项和为T.（2）求数列{Snn5n195n1153【答案】（1）a；（2）T=nn3n43422S3a32S3a32a3a3a【详解】(1)因为nn1,所以n1n2,两式相减可得n1n2n1.即3a5a52S3a35a3n2n1,所以等比数列a的公比q，又因为121.所以n35n1a1,a；1n3335nSa11n2n123(2)因为，33335n13所以TaaanSSn1nn223n12n11223295n1153(1)n1nan.n434219．以如图，已知AB//CD,CD//EF,ABDEEFCF2,CD4,ADBC10,AE23,M为CD的中点.（1）证明EM平面BCF；（2）求点M到ADE的距离.【答案】见详解【详解】（1）由题意：EF//CM,EFCM而CF不属于ADO,EM不属于平面ADO,所以EM//平面BCF；（2）取DM的中点O,连结OA,OE,则OADM,OEDM,OA3,OE3,AE23.23故OAOE,S.因为DE2,AD10,所以ADDE,S10.设点AOE3AOEM到平面ADE的距离为h.所以VMADE1143230230ShSDM,h,故点M到ADE的距离为.20．已3ADE3AOE1055知函数f(x)a(x1)lnx1.f(x)（1）求的单调区间；（2）若a2时，证明：当x1时，f(x)ex恒成立.【答案】见详解ax1【详解】（1）f(x)a(x1)lnx1,f(x),x0.xa0,f(x)0,f(x)(0,)若的减区间为,无增区间：11若a0时，当0x时，f(x)0,当x时，f(x)0,所以f(x)的单调递减aa11区间为0,,单调递增区间为,.aa（2）因为a2,所以当x1时，ex1f(x)ex1a(x1)lnx1ex12xlnx1.令g(x)ex12xlnx1.1h(x)g(x)1(1,)则gxex12，令,则h(x)ex1在上递增，xx2h(x)h(1)0g(x)g(1)0g(x)(1,),所以h(x)在(1,)上递增，,故在上g(x)g(1)0递增，,即：当x1时f(x)ex1恒成立.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系ᵆᵄᵆ中，以坐标原点ᵄ为极点，ᵆ轴的止半轴为极轴建极坐标系，曲线ᵃ的极坐标方程为ᵰ=ᵰcosᵰ+1.(1)写出ᵃ的直角坐标方程；xt(2)直线（t为参数）与曲线ᵃ交于ᵃ,ᵃ两点，若|AB|=2,求ᵄ的值.yta【答案】见详解【详解】(1)因为ᵰ=ᵰcosᵰ+1,所以ᵰ2=(ᵰcosᵰ+1)2,故ᵃ的直角坐标方程为：ᵆ2+ᵆ2=(ᵆ+1)2,即：ᵆ2=2ᵆ+1;xt(2)将代入ᵆ2=2ᵆ+1可得ᵆ
2+2(ᵄ−1)ᵆ
+ᵄ2−1=0,|ᵃᵃ|=√2|ᵆ
−ᵆ
|=√16(1−ᵄ)=yta122,解得ᵄ=3.423．[选修4-5：不等式选讲]实数ᵄ,ᵄ满足ᵄ+ᵄ≥3.(1)证明：2ᵄ2+2ᵄ2>ᵄ+ᵄ;(2)证明：|ᵄ−2ᵄ2|+|ᵄ−2ᵄ2|≥6.【答案】见详解【详解】(1)因为ᵄ+ᵄ≥3,所以2ᵄ2+2ᵄ2≥(ᵄ+ᵄ)2>ᵄ+ᵄ;(2)|ᵄ−2ᵄ2|+|ᵄ−2ᵄ2|⩾|ᵄ−2ᵄ2+ᵄ−2ᵄ2∣=|2ᵄ2+2ᵄ2−(ᵄ+ᵄ)|=2ᵄ2+2ᵄ2−(ᵄ+ᵄ)⩾(ᵄ+ᵄ)2−(ᵄ+ᵄ)=(ᵄ+ᵄ)(ᵄ+ᵄ−1)≥6..