第二部分专题四类型1二次函数与特殊三角形的存在性成绩1．(2018·怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)摸索求：在拋物线上能否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请阐明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，即y＝ax2－2ax－3a，∴－2a＝2，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C(0,3)，设直线AC的解析式为y＝px＋q，把A(－1,0)，C(0,3)代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－p＋q＝0，,q＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝3，,q＝3，))∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为(1,4)，如答图1，作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，则B′(－3,0)，∵MB＝MB′，∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此时MB＋MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y＝x＋3，当x＝0时，y＝x＋3＝3，∴点M的坐标为(0,3)；答图1答图2(3)存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，如答图2，∵直线AC的解析式为y＝3x＋3，∴直线P1C的解析式可设为y＝－eq\f(1,3)x＋b，把C(0,3)代入得b＝3，∴直线P1C的解析式为y＝－eq\f(1,3)x＋3，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2＋2x＋3，,y＝－\f(1,3)x＋3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,3)，,y＝\f(20,9)，))则此时P点坐标为(eq\f(7,3)，eq\f(20,9))；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，如答图2，直线P2A的解析式可设为y＝－eq\f(1,3)x＋d，把A(－1,0)代入得eq\f(1,3)＋d＝0，解得d＝－eq\f(1,3)，∴直线P2A的解析式为y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(1,3)，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2＋2x＋3，,y＝－\f(1,3)x－\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(10,3)，,y＝－\f(13,9)，))则此时P点坐标为(eq\f(10,3)，－eq\f(13,9))，综上所述，符合条件的点P的坐标为(eq\f(7,3)，eq\f(20,9))或(eq\f(10,3)，－eq\f(13,9))．2．(2018·泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(－4,0)，B(2,0)，交y轴于点C(0,6)，在y轴上有一点E(0，－2)，连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；(3)抛物线对称轴上能否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出一切P点的坐标，若不存在，请阐明理由．解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过点A(－4,0)，B(2,0)，C(0,6)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16a－4b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝0，,c＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,4)，,b＝－\f(3,2)，,c＝6，))∴二次函数的表达式为y＝－eq\f(3,4)x2－eq\f(3,2)x＋6.(2)由A(－4,0)，E(0，－2)可得AE所在的直线解析式为y＝－eq\f(1,2)x－2，答图过点D作DF⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如答图，设D(m，－eq\