第廿章重积分的计算及应用第一节二重积分的计算我们已知曲顶柱体的体积为nfxydxdy(,)=limf(ξii,ησ)⋅Δi.∫∫d→0∑Di=1又若Sx()为立体的截面积,则立体的体积为bVSxd=()x.∫a一．在直角坐标系下计算二重积分1o.设Dxyaxbcyd=≤≤≤{(,):,≤}则bd⎡⎤bdV==f(,xy)dxdyf(,xy)dydx=dxf(,xy)dy.∫∫∫ac⎢⎥∫∫a∫cD⎣⎦同样地,dbf(,xy)dxdy=dyf(,xy)dx.∫∫∫ca∫D例20.1.计算二重积分∫∫y2xdxdy，其中Rxyx={(,):−≤3≤2,0≤y≤1}.R例20.2.曲顶柱体V额上顶为平面zx=4−−y,下底为矩形Rxyx=≤≤≤{(,):01,0y≤2},求V的体积.2o.设Dxyaxbxyx=≤≤≤≤{(,):,ϕ()ψ()},(x型区域),则bxψ()bxψ()f(,xydxdy)=f(,xydydx)=dxf(,xy)dy.(先对y后对x)∫∫∫ax(∫ϕ())∫∫axϕ()D同样地,若D是y型区域,即Dxyyxycyd={(,):ϕ()≤≤ψ(),≤≤},则dyψ()f(,xy)dxdy=dyf(,xy)dx.(先对x后对y)∫∫∫cy∫ϕ()D1例20.3.求∫∫(2−−xydxdy),其中D由yx=和yx=2所围成.D2例20.4.求由xy22+=4,yz+=4和z=0所围成的立体的体积.例20.5.求由zxyzxyxy=+=,,+===1,0,xy0,所围成的立体的体积.11−x例20.6.变更积分次序:2dxf(,xy)dy.∫∫0xsiny例20.7.计算I=∫∫dxdy,其中D由yx=及x=y2所组成.Dy2类型题.计算I=∫∫edxdyx，其中Dxyx={(,):0≤≤1,0≤≤yx2}.D例20.8.计算I=∫∫xy2dxdy,其中R如图所示.R类型题.1.计算I=∫∫xy2dxdy,其中R如图所示.R2.求两圆柱x22222+yayza=+=,2所围成的立体体积.二．用极坐标计算二重积分定理20.1.极坐标下计算二重积分公式∫∫fxydxdy(,)=∫∫fr(cos,θθθrsin)rdrdDDβθr()=dfrrθθ2(cos,sin)θdr.∫∫αθr()1推论.区域D的面积为βθr2()1β1(dxdy==rdrdθdθθrdr=r2)dθ.∫∫∫∫∫αθ∫r()∫α1DD2例20.9.求∫∫sinθdσ,其中R由圆r=2的外部和心脏线r=+2(1cosθ)的R内部所围成的区域中的第一象限部分.22例20.10.计算∫∫edxd−−xyy,其中Dx:122+y≤.D例20.11.求三叶线r=sin3θ所围区域的面积.例20.12.在一个形状为旋转抛物面zx=2+y2的容器内,已经盛有8πcm3的溶液,现由倒进120πcm3溶液,问液面升高多少？三.二重积分的一般变量替换1.定积分的变量替换令xgu=≤(),αu≤β,则bbαf()xdx==f()xdxf(())()gug′udu.∫∫∫aaxgu=()βDxy(,)2.若给定x==xuv(,),y(,),uv则当≠0时，u=uxy(,),v=vxy(,).Duv(,)Dxy(,)定理20.2.令x=xuv(,),y=(,),uv且≠0,则Duv(,)Dxy(,)∫∫f(,xy)dxdy=∫∫f((,),(,))xuvyuvdudv.RSDuv(,)推论.令xr==cosθ,yrsinθ,则∫∫f(,xy)dxdy=∫∫f(cos,rθrsin)θθrdrd.RSxy−例20.13.求∫∫dxdy,其中R由xy−=0,xy−=1,x+=y1和Rxy+xy+=3所围成.例20.14.求由抛物线ypxyqxpq22==<<,(0)以及双曲线xyaxyb==,(0<<ab)所围区域的面积.练习题.计算∫∫sin(xydxdy),其中D由xy=ππ,2,xy==xy41和xy4=2所D围成.第二节三重积分的计算我们已经引入nf(,xy,)zdxdydz=limf(ξηiii,,z)⋅ΔVi.∫∫∫d→0∑Vi=1物理意义:立体V的质量.一．在直角坐标系下计算二重积分1o.设V为长方体V: