PAGE1、如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.（I）求证：；（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.2、已知函数，数列满足（I）求数列的通项公式；（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.3、设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.（I）求此双曲线的渐近线的方程；（II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.4、已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.（I）求证数列是等比数列；（II）设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立？5、设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．6、给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．7、已知函数（Ⅰ）若（Ⅱ）若（Ⅲ）若的大小关系（不必写出比较过程）.1、解：（I）右准线，渐近线，……3分（II）双曲线C的方程为：……7分（III）由题意可得……8分证明：设，点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q……11分，得的取值范围是（0，1）……13分2、解：（I）……1分……将这n个式子相加，得……3分（II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1……6分（III）设满足条件的正整数N存在，则又均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m个满足条件的正整数N，则，解得中满足条件的正整数N存在，共有495个，……9分（IV）设，即则显然，其极限存在，并且……10分注：（c为非零常数），等都能使存在.3、解：（I），渐近线方程为4分（II）设，AB的中点则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分）（III）假设存在满足条件的直线设由（i）（ii）得∴k不存在，即不存在满足条件的直线.14分4、解：（I）由已知（2）由得：，即对任意都成立（II）当时，由题意知，13分5、解：（1）设点其中．由分所成的比为8∶5，得，2分∴．①，4分而，∴．．②，5分由①②知．∴．6分（2）满足条件的圆心为，，8分圆半径．10分由圆与直线：相切得，，又．∴椭圆方程为．12分6、解：设公差为，则．3分4分．7分又．∴，当且仅当时，等号成立．11分∴．13分当数列首项，公差时，，∴的最大值为．14分7、解：（Ⅰ）（Ⅱ）设，……6分（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时当k为奇数时……14分