第1章信号分析基础我们生活在一个信息社会里，而信息的载体就是本课程要讨论的主题——信号。在我们身边以及在我们身上，信号是无处不在的。信号是变化着的，变化着的信号构成了我们周围五彩斑斓的世界。信号的“变化”有两种形式：信号的幅度随时间变化----幅度不变的信号是“直流”信号信号的频率内容随时间变化----正弦波、方波、三角波等信号的时频表达形式傅立叶变换不具有时间和频率的“定位”功能图1.1.1信号的时－频表示（a）信号x(n),(b)x(n)的频谱，(c)x(n)时－频分布的二维表示x(n)时－频分布的三维表示傅立叶变换对于非平稳信号的局限性例1.1.2令x(n)时－频分布的三维表示傅立叶变换在分辨率上的局限性傅立叶变换可以写成如下的内积形式：若，都是连续的，则若，均是离散的，则则信号的傅立叶变换等于在基函数上的正交投影。基函数在频域是位于处的函数。用傅立叶变换来分析信号的频域行为时，它具有最好的频率分辨率，在时域有着最坏的分辨率。对傅立叶反变换，分辨率的情况正好相反。一个宽度为无穷的矩形窗（即直流信号）的傅立叶变换为一函数，反之亦然。当矩形窗为有限宽时，其傅立叶变换为一Sinc函数，即矩形窗的宽度和其频谱主瓣的宽度()成反比。由于矩形窗在信号处理中起到了对信号截短的作用，因此，若信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那么由于的主瓣变宽因此在频域的分辨率必然会下降。所有这些都体现了傅立叶变换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。显然，傅立叶变换也无法根据信号的特点来自动调节时域及频域的分辨率。1.2克服傅立叶变换不足的一些主要方法意义：用沿着轴滑动，因此可以不断地截取一段一段的信号，然后对每一小段分别作傅立叶变换，得到平面上的二维函数。的作用是保持在时域为有限长（一般称作“有限支撑”），其宽度越小，则时域分辨率越好。在频域，由于为一函数，因此仍可保持较好的频域分辨率。短时傅立叶变换是最简单、最直观的时频联合分析，在中，变量仍是单独取值，因此，它并不是严格意义上的时频联合分析。时频联合分析Cohen时－频分布二维函数应具备的基本性质总结：小波变换参数讨论：信号的子带分解（subbanddecomposition）信号的多分辨率分析图1.2.1的时域波形及频谱（a）时域波形,(b)频谱分别用低通和高通滤波器对作滤波处理。设低通滤波器的频带在0～0.25（即）之间，高通滤波器的频带在0.25～0.5（即）之间，并设的输出为，的输出为。(c)推广：频谱M等分在上述分解过程中，每一级分解后的信号的频带都比前一级减小一倍，故在图1.2.5中在每一级都跟随着一个二抽取环节。由于是高通滤波器，其输出是每一级的高频信号，我们称之为该级信号的“细节（detail）”，而是每一级的低频信号，我们称之为信号的“概貌”或“近似（approximation）”。例1.2.2设信号其中＝1Hz,＝20Hz，＝40Hz,＝200Hz,这样保证了对每一个正弦分量都可采到整周期。设数据长度取400点，现希望能将的抽样中的三个正弦信号分离出来。图1.2.4信号的二进制分解在例1.2.1及1.2.2对信号的分解过程中，可以看到一次次的分解将原信号分成了一个个具有不同频带的“子带（subband）”信号。直观的说，若对这些子带信号各自做DFT，且做DFT的长度都一样，那么每一个子带信号的频率分辨率是不一样的。例如，在图1.2.4中，对信号的频率分辨率是，对、，的频率分辨率是，提高了一倍，对、是，对、是，这一分析过程是一个由“粗”及“精”的过程。因此，我们把这一类将原信号按频带分解成一个个子带信号的方法称作“多分辨率分析（或分解）”。小波变换是对给定的信号作“尺度－位移”分析，是时－频分析的另一种形式。实际上，小波的“尺度－位移”分析是按照例1.2.2的多分辨率分解来实现的，也即小波变换最后归结为树状滤波器组的问题。1.3信号的时宽与带宽求的方法令则所以由Parseval’s定理，上式又可写成因为始终为实数，所以式的虚部应为零，即称为信号的瞬时频率（InstantaneousFrequence,IF）或称“平均瞬时频率”。因此，信号的均值频率（或中心频率），是其瞬时频率在整个时间轴上的加权平均，而权函数即是。信号的时宽和带宽令，1.2.3.由于，所以，这样，4.,5.同理可求出,1.4不定原理证明：不失一般性假定，，则由于及假定故上式应等于，，等号成立，这时，只有不定原理，又称Heisenberg测不准原理，或Heisenberg-Gabor不定原理。对给定的信号，其时宽与带宽的乘积为一常数。当信号