问题导学问题导学梳理在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋＝ap＋.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.梳理若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有[思考辨析判断正误]1.已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率.()2.在等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N*，且l＋m＋n＝p＋q＋r，则al＋am＋an＝ap＋aq＋ar.()题型探究例1在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式.跟踪训练1数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝____.反思与感悟根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质.解答解由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220<0，解得n＞11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.解方法一因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5，①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.引申探究1.在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?解设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d，∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.2.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝_____.反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.跟踪训练3在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值.解方法一∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列.∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.方法二∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝39，∴a1＋3d＝13，①∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝3a1＋12d＝33.∴a1＋4d＝11，②∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.达标检测答案答案答案答案11.在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.2.在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.