第3课时不同函数增长的差异考点学习目标核心素养了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，函数模型的增长差异数学抽象、数学建模了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义能根据具体问题选择函数模型，构建函函数模型的选取数学建模数模型求解问题问题导学预习教材P136－P138，并思考以下问题：1．函数y＝kx(k>0)、y＝ax(a>1)和y＝logx(a>1)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？a2．函数y＝kx(k>0)、y＝ax(a>1)和y＝logx(a>1)的增长速度有什么不同？a三种函数模型的性质y＝kx(k＞0)y＝ax(a＞1)y＝logx(a＞1)a在(0，＋∞)增函数增函数增函数上的增减性图象的变化随x增大逐渐近似与随x增大逐渐近似与一条直线趋势y轴平行x轴平行(1)y＝ax(a＞1)随着x的增大，y增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度增长速度(2)y＝logx(a>1)随着x的增大，y增长速度越来越慢，不论a的值a比k的值大多少，在一定范围内，logx可能会大于kx，但由于logxaa的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x，当x>x时，恒有logx<kx00a判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．()(2)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()(3)当a>1，k>0时，对∀x∈(0，＋∞)，总有logx<kx<ax.()a答案：(1)√(2)×(3)×下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝2xD．y＝e－x答案：A已知y＝2x，y＝2x，y＝logx，当2<x<4时，有()1232A．y>y>yB．y>y>y123213C．y>y>yD．y>y>y132231答案：A某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b解析：选B.由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.函数模型的增长差异四个变量y，y，y，y随变量x变化的数据如表：1234x151015202530y2261012264016269011y2321024327681.05×1063.36×1071.07×1092y21020304050603y24.3225.3225.9076.3226.6446.9074关于x呈指数函数变化的变量是________．【解析】从表格观察函数值y，y，y，y的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变1234量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y，y，y，y均是从2开始变化，变量y，y，y，y都是12341234越来越大，但是增长速度不同，其中变量y的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知2变量y关于x呈指数函数变化．故填y.22【答案】y2常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logx(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数a值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程f(x)(i＝1，2，3，4)关i于时间x(x>1)的函数关系是f(x)＝x2，f(x)＝2x，f(x)＝logx，f(x)＝2x，如果它们一直12324运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝2x12C．f(x)＝logxD．f(x)＝2x324解析：选D.由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.函数模型的选取某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年的生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201620172018产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年．现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx