高考中档题训练(11)1.(2014温州一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB+bcosA=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,b=1,求△ABC的面积.解:(1)由asinB+bcosA=0得sinAsinB+sinBcosA=0,tanA=-1,A=.(2)由=得=,sinB=,B=,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,S△ABC=absinC=××1×=.2.(2013江西南昌二模)如表所示是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.a1,1a1,2a1,3a1,4…a2,1a2,2a2,3a2,4…a3,1a3,2a3,3a3,4…a4,1a4,2a4,3a4,4………………(1)求数列{an,2}的通项公式;(2)设bn=+(-1)na1,n(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),则a2,3=qa1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)⇒q2(1+d)=8,解得d=1,q=2,所以a1,2=2,an,2=2×2n-1=2n.(2)由(1)得a1,n=n,所以bn=+(-1)nn,Sn=(+++…+)+[-1+2-3+…+(-1)nn],记Tn=+++…+,则Tn=+++…+,两式相减得,Tn=+++…+-=1-,所以Tn=2-,所以n为偶数时,Sn=+2-,n为奇数时,Sn=-+2-.3.(2013高考广东卷)如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图②所示的四棱锥A′BCDE,其中A′O=.(1)证明:A′O⊥平面BCDE;(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值.解:(1)由题意,易得OC=3,AC=3,AD=2.连接OD,OE.在△OCD中,由余弦定理可得OD==.由翻折不变性可知A′D=2,所以A′O2+OD2=A′D2,所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE,又OD∩OE=O,所以A′O⊥平面BCDE.(2)法一(传统法)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H,连接A′H,如图.因为A′O⊥平面BCDE,所以A′H⊥CD,所以∠A′HO为二面角A′CDB的平面角.结合OC=3,∠BCD=45°,得OH=,从而A′H==.所以cos∠A′HO==,所以二面角A′CDB的平面角的余弦值为.法二(向量法)以O点为原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示,则A′(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以=(0,3,),=(-1,2,).设n=(x,y,z)为平面A′CD的一个法向量,则即解得令x=1,得n=(1,-1,),即n=(1,-1,)为平面A′CD的一个法向量.由(1)知=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,所以cos<n,>===,即二面角A′CDB的平面角的余弦值为.20．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同。（Ⅰ）规定：进行一次操作指：“从盒中随机取出一个球，若取出的是黄球，则把它放回盒中；若取出的是红球或绿球，则该球不放回，并另外补一个黄球放入盒中。”求：①在第一次取出的是红球或绿球的条件下，第二次取出黄球的概率；②经过第二次操作后，盒中黄球的个数是4的概率；（Ⅱ）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为，随机变量表示的最大数，求的概率分布列和数学期望。20．解：（Ⅰ）设事件A表示“第1次操作取出的是黄球”，事件表示“第1次操作取出的不是黄球”事件B表示“第2次操作取出的是黄球”，事件表示“第2次操作取出的不是黄球”事件C表示第2次操作后盒中黄球个数为4的概率。①4分②表示事件“第1次操作从盒中取出的是黄球，且第2次操作从盒中取出的不是黄球，由事件概率的计算公式得：6分表示事件第1次操作从盒中取出的不是黄球且第2次操作从盒中取出的是黄球，由条件概率的计算公式得：事件，且与是互斥事件；所以.8分（Ⅱ）随机变量X的取值可能为2，3，4，，，所以X的分布列为X234P13分