历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列、函数与集合新定义)汇编考点01数列新定义一、小题1．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设正整数na20a2a2k1a2k，其中a0,1，01k1ki记naaa．则（）01kA．2nnB．2n3n1C．8n54n3D．2n1n2．（2020∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）0‐1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列aaa满足12na{0,1}(i1,2,)，且存在正整数m，使得aa(i1,2,)成立，则称其为0‐1周期序列，并称满足iimiaa(i1,2,)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0‐1序列aaa，imi12n1m1C(k)aa(k1,2,,m1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0‐1序列中，满足C(k)(k1,2,3,4)miik5i1的序列是（）A．11010B．11011C．10001D．11001二、大题1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设m为正整数，数列a,a,...,a是公差不为0的等差数列，若从中删去124m2两项a和aij后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列ija,a,...,a是i,j可分数列．124m2(1)写出所有的i,j，1ij6，使数列a,a,...,a是i,j可分数列；126(2)当m3时，证明：数列a,a,...,a是2,13可分数列；124m2(3)从1,2,...,4m2中一次任取两个数i和jij，记数列a,a,...,a是i,j可分数列的概率为P，证明：124m2m1P．m82．（2024∙北京∙高考真题）已知集合Mi,j,k,wi1,2,j3,4,k5,6,w7,8,且ijkw为偶数．给定数列A:a,a,,a，和序128列:T,T,T，其中Ti,j,k,wMt1,2,,s，对数列A进行如下变换：将A的第i,j,k,w项均12sttttt1111加1，其余项不变，得到的数列记作TA；将TA的第i,j,k,w项均加1，其余项不变，得到数列记作112222TTA；……；以此类推，得到TTTA，简记为A．21s21(1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列:1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7，写出A；(2)是否存在序列，使得A为a2,a6,a4,a2,a8,a2,a4,a4，若存在，写出一个符合12345678条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列A的各项均为正整数，且aaaa为偶数，求证：“存在序列，使得A的各项都相等”1357的充要条件为“aaaaaaaa”．123456783．（2023∙北京∙高考真题）已知数列a,b的项数均为m(m2)，且a,b{1,2,,m},a,b的前nnnnnnn项和分别为A,B，并规定AB0．对于k0,1,2,,m，定义rmaxi∣BA,i{0,1,2,,m}，其nn00kik中，maxM表示数集M中最大的数.(1)若a2,a1,a3,b1,b3,b3，求r,r,r,r的值；1231230123(2)若ab，且2rrr,j1,2,,m1,，求r；11jj1j1n(3)证明：存在p,q,s,t0,1,2,,m，满足pq,st,使得ABAB．ptqs4．（2022∙北京∙高考真题）已知Q:a,a,,a为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n{1,2,,m}，12k在Q中存在a,a,a,,a(j0)，使得aaaan，则称Q为m连续可表数列．ii1i2ijii1i2ij(1)判断Q:2,1,4是否为5连续可表数列？是否为6连续可表数列？说明理由；(2)若Q:a,a,,a为8连续可表数列，求证：k的最小值为4；12k(3)若Q:a,a,,a为20连续可表数列，且aaa20，求证：k7．12k12k5．（2021∙北京∙高考真题）设p为实数.若无穷数列a满足如下三个性质，则称a为数列：nnp①ap0，且ap