中学生数学2009年8月上第375期(高中)优美奇异的黄金分割云南省祥云第一中学(672100)董正洪趣一、黄金分割5+1比2=.把一条线段分成两段,使其中较大的一段2味是原线段与较小一段的比例中项,叫做把这条五、黄金比与三角数线段黄金分割.在线段AB上取一点P,使得由sin36%=cos54%可得2sin18%cos18%=学APAB=PBAP(即AP2=AB!PB),则4cos318%-3cos18%(2sin18%)2+2sin18%-1=点P叫做线段AB的黄金分割点.由对称性0,故2sin18%==5-1.知,一条线段的黄金分割点有两个P1、P2.2二、黄金比黄金三角形:顶角为36%的等腰三角形叫在线段AB上取一点P,设AB=1,AP=做黄金三角形;其源于=2sin18%,顶角为36%x1-x2的等腰三角形的底边与腰长的比值为=x,则有PB=1-x,由=得x+x-1=1x2sin18%.5-15+1若三角形的三边构成等比数列,则公比q0x1=、x2=-,取正数得x=225-15+1的范围是:<q<.5-15-122,∀0.618是一个无理数,常用22六、黄金比与Fibonacci数列表示,称为黄金比.数列1、1、2、3、5、8、13、21、&&叫做Fi三、方程、不动点与黄金比bonacci数列,其特征是,有初始值1、1,从第三5-12个数开始,每个数都是前两个数之和;其递归黄金比=是一元二次方程x+x2F1=F2=1,-1=0的一个根(正根).定义为通项公式为FnFn=Fn-1+Fn-2,n∋3.对于函数f(x)若存在实数x0使f(x0)=11+5n1-5n0成立则称0为函数的不动点=[()-()].(1730年法国数x,xf(x).522由2得2所以x+x-1=01-x=x,=学家棣莫弗给出,19世纪初法国数学家比内首5-12是函数f(x)=1-x的一个不动点.先证明,现在称比内公式).2Fibonacci数列通项公式的奇异之处在于,212由x+x=1可得=x,所以=出现了方程x+x-1=0的两个实数根x1=1+x5-15+15-11、x2=-,且无理数5与自然数n是函数f(x)=的一个不动点.2221+x运算的结果Fn居然都是整数.由x2=1-x可得x=1-x,所以=F1=F2=1,Fn+25-1又由=1+是函数f(x)=1-x的一个不动点.Fn=Fn-1+Fn-2,n∋3Fn+12FnFnFn+1四、黄金比与定比分点,若lim存在,且等于x,则lim=Fn+1n∃(Fn+1n∃(Fn+2如图,P1、P2是线段Fn12##∃lim=x.所以=1+xx+x-1=0xn∃(n+1AB的黄金分割点,则P1分有向线段AB所成Fx5-1##∃5-1舍去负根下转第页的比1==,P2分有向线段AB所成的=∀0.618().(29)22网址:zxss.chinajournal.net.cn28电子邮箱:zxss@chinajournal.net.cn中学生数学2009年8月上第375期(高中)应用穷举法解联赛题数福建省漳州市省七建职工宿舍楼11幢302室(363000)洪振铎学竞2008年全国高中数学联赛第一试第9题.将24个志愿者分配给三个学校,则每校至少有一个名额及各校名额互不相同的分配方法共赛有种.(见中学生数学2009年1月(上)P32)之根据每校至少有一名额,且各校名额互不相同的要求,先把志愿者分成不同名额的三校组合,窗再每个组合进行排列.例如志愿者m=6人,不同名额的三校组合只有1,2,3(单位:人/校)一种,再进行排列f(n)=P3=6(种).现志愿者有m=24人=4!6人,根据要求,可以组成下列不同名额的三校组合.不同名额的三校组合(单位:人/校)组合数7.8.916.7.116.8.101!65.6.135.7.125.8.115.9.104.5.154.6.144.7.134.8.124.9.103.4.173.5.163.6.153.7.143.8.132!63.9.123.10.112.3.192.4.182.5.172.6.162.7.152.8.142.9.132.10.123!61.2.211.3.201.4.191.5.181.6.171.7.161.8.151.9.141.10.131.11.12总组合数(1+2+3)!6+1=37(组),总分配方法f(n)=37!6=22