矩阵不仅是讨论线性代数的主要工具和研究对象（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第三章矩阵本教材从第四章起,后面各章均与矩阵的化简和应用相关.本章着重讨论矩阵的运算、矩阵的初等变换及可逆矩阵等,是为后面各章内容讨论的重要基础.3.1矩阵及其运算定义1设是一个数域,,,由这个数作成的一张表,称为上的一个行列矩阵,记为或,称为矩阵的元素.两个矩阵若同为行列矩阵，称它们为同阶矩阵.两个矩阵、若同阶且对应元相等,则称与相等,记为=.,若,;.则称为零矩阵,记为,简记为0.称为的负矩阵,记为.当时,称为阶方阵(或称阶矩阵).在阶方阵中,形如(1)的方阵称对角形矩阵（简称对角阵）.（1）中若,则称为数量矩阵.而特殊的数量矩阵称为阶单位矩阵,记为.在阶方阵中,若＜时,,则称为下三角形矩阵.同样有上三角形矩阵,若(),则称为对称矩阵.对阶方阵可取行列式,称为的行列式,记为||.由定义,方阵是一张表,而||是一个数.这是两个不容混淆的不同概念.以下提及的矩阵均为数域上的矩阵.首先,我们给出矩阵的三种运算：加法,数量乘法和乘法.定义2设,则矩阵称为与的和,记为.规定.由定义,只有同阶矩阵才能相加,法则是对应元相加.容易证明,矩阵的加法满足如下性质：；；；.定义3矩阵称为数与的数量乘积,记为.由定义,与为同阶矩阵,数量乘法的法则是将乘每一个元素.我们不难得出数量乘法的如下性质：；；；.其中.我们应当注意到数与行列式相乘跟数与矩阵相乘在法则上的区别.定义4,称为与的积,其中.与的积记为.由定义,只有当的列数与的行数相同时,才能得,而中的第i行第j列元为的第行元与的第列对应元乘积之和.的行数同的行数,列数同的列数.例设,,则.一般地,,这是因为有意义,不一定有意义；即使二者都有意义也未必同阶；即使二者同阶,但对应元未必相同.矩阵的乘法还不满足消去律,即若,,不一定有,例如,,,,但.此外,两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵,例如.但矩阵的乘法满足结合律：.证略.矩阵的乘法对加法满足分配律:;(2).(3)只就(2)式证明.设、均为矩阵,则(2)式两边同为矩阵.又左边第行第列元为,与第行第列元相同,故(2)式成立.对任意,容易得出,.由于矩阵乘法满足结合律,当为方阵时,个连乘有意义,记,称为的次幂.规定.显然方幂运算满足,（为非负整数）.定义5设，将的第行元作为第列元,得一个矩阵,称为的转置矩阵,记为.矩阵的转置有如下性质:1,2,3,4.只就4加以证明.设,,则与均为矩阵,又的第行第列元为,它是的第行第列元.而的第行第列元是的第行元与的第列对应元乘积之和,即为的第列元与的第行对应元乘积之和，也即是.说明与的对应元相同,故等式成立.有时为了书写或推算简便,常在不变动矩阵元素的位置的情况下,将矩阵的行或列分成若干小块,称为对矩阵分块.分块后的矩阵称分块矩阵,其中的每一小块称为它的子块.如将矩阵分块成,其中.矩阵其中为方阵,称为分块对角形矩阵,或准对角形矩阵.习题1.已知,,求;.2.已知,,求;.3.设,是同阶方阵,问是否一定成立?4.设为任意阶方阵,证明.5.证明.3.2元向量及其线性相关性元向量的线性相关性,是我们讨论矩阵、线性方程组、向量空间等内容的极为重要的理论基础.对于本节和下一节给出的一些主要概念和结论,应当引起足够的重视.定义1元有序数组称为n元向量,记为(),其中数域,称为它的第个分量.元向量常用表示.令,当0()时,称为元零向量(简称零向量),记为;若只有第分量为1,其余分量都为0,则称为单位向量,记为;向量称为的负向量,记为.设,,当时,称与相等,记为=.在平面直角坐标系中,点的坐标为一个二元向量.含个未知量的线性方程组的解是一个元向量,称为方程组的解向量.矩阵的每行(列)是一个元(元)向量,称为的行(列)向量.一般地,元列向量记为()T.定义2为数域上的元向量,,将,的对应分量相加所得的元向量称为与的和,记为+;将k乘的每一个分量所得的元向量,称为k与的数量乘积,记为.元向量的加法和数乘运算统称为元向量的线性运算.规定=+().元向量的加法、数量乘法的运算性质,与矩阵的加法、数量乘法的运算性质在形式上是相同的,读者可自行给出.根据加法与数量乘法的定义及性质可知，有限个元向量经线性运算后可得一个确定的元向量.定义3是数域上元向量,，称为的一个线性组合.令，则称是,,…,的线性组合,或称可经,,…,线性表示(线性表出).其中称组合系数.由定义3可得如下事实:1)向量组中任一个向量都可经该向量组线性表