§2.4指数与指数函数考点指数与指数函数1.指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*),那么这个数叫做a的n次方根.也就是说,若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.(2)根式的性质1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号 表示.2)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数a的正的n次方根用符号 表示,负的n次方根用符号- 表示.正负两个n次方根可以合写为± (a>0).3)( )n=①a(a必须使 有意义).4)当n为奇数时, =②a.当n为偶数时, =|a|=③ 5)负数没有偶次方根.6)零的n次方根都是零.2.有理指数幂(1)分数指数幂的表示1)正数的正分数指数幂: =④ (a>0,m,n∈N*,n>1).2)正数的负分数指数幂: =⑤ =⑥ (a>0,m,n∈N*,n>1).3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义.(2)有理指数幂的运算性质:1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图象与性质指数式的运算、估值和大小比较的解题策略1.指数式的运算、估值:利用分数指数幂进行根式运算,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行计算或估值.2.指数式值的大小比较的常见类型有:(1)同底不同指数;(2)同指数不同底;(3)底和指数均不相同.指数式值的大小比较的常用方法有:(1)化为相同指数或相同底数后利用相应函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0或1等)分段.例1(2017天津和平期末,14)函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则f(log23)的值为.解题导引利用函数的奇偶性和周期性转化为求-f →由指数与对数恒等式得结论答案- 指数函数的图象和性质的综合应用的解题策略1.利用指数函数的性质时,一般应画出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,抓住三个关键点:(1,a),(0,1), .2.利用指数函数的图象和性质研究函数的奇偶性、对称性、单调性(特别要注意对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论),往往可根据函数的性质求函数的解析式或由函数的解析式研究函数的性质.3.指数函数的底数中若含有参数,一般需分类讨论;指数函数与其他函数构成复合函数,讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一.例2(2017浙江温州十校期末联考,7)设函数f(x)= 若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是 ()A.[0,+∞)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)解题导引作出函数y=f(x)的图象→数形结合得结论解析作出函数y=f(x)的图象,如图. 由f2(x)-af(x)=0,得f(x)=0或f(x)=a.显然f(x)=0有一个实数根-1,因此只需f(x)=a有两个不同于-1的实根,利用图象可得实数a的取值范围是[1,+∞).