1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1)曲线yxsin2x在点,1处的切线方程是___.22xn(2)幂级数的收敛域是___.n1n0(3)齐次线性方程组xxx0,123xxx0,只有零解,则应满足的条件是___.123xxx0123(4)设随机变量X的分布函数为0,x0,FxAsinx,0x,则A=__________,PX.261,x,2(5)设随机变量X的数学期望E(X),方差D(X)2,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有P{X3}___.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设fx2x3x2,则当x0时()(A)fx与x是等价无穷小量(B)fx与x是同阶但非等价无穷小量(C)fx是比x较高阶的无穷小量(D)fx是比x较低阶的无穷小量(2)在下列等式中,正确的结果是()(A)fxdxfx(B)dfxfxd(C)fxdxfx(D)dfxdxfxdx(3)设A为n阶方阵且A0,则()(A)A中必有两行(列)的元素对应成比例(B)A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C)A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(D)A中至少有一行(列)的元素全为0(4)设A和B均为nn矩阵,则必有()(A)ABAB(B)ABBA(C)ABBA(D)AB1A1B1(5)以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为()(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B)“甲、乙两种产品均畅销”(C)“甲种产品滞销”(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)11x(1)求极限limsincos.xxx2z(2)已知zf(u,v),uxy,vxy,且f(u,v)的二阶偏导数都连续.求.xy(3)求微分方程y5y6y2ex的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为xPP(x)10e2,且最大需求量为6,其中x表示需求量,P表示价格.(1)求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2)求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)(3)画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数x,0x1,f(x)2x,1x2.试计算下列各题：24(1)Sf(x)exdx;(4分)(2)Sf(x2)exdx;(2分)00122n2(3)Sf(x2n)exdx(n2,3,);(1分)(4)SS.(2分)n2nnn0六、(本题满分6分)假设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(x)0,记1xF(x)f(t)dt,xaa证明在(a,b)内,F(x)0.七、(本题满分5分)01011XAXB,A111,B,已知其中20求矩阵X.10153八、(本题满分6分)设(1,1,1),(1,2,3),(1,3,t).123(1)问当t为何值时,向量组,,线性无关?(3分)123(2)问当t为何值时,向量组,,线性相关?(1分)123(3)当向量组,,线性相关时,将表示为和的线性组合.(2分)123312九、(本题满分5分)122设A212.221(1)试求矩阵A的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵EA1的特征值,其中E是三阶单位矩阵.(3分)十、(本题满分7分)已知随机变量X和Y的联合密度为e(xy),0x,0y,f(x,y)0,其它.试求：(1)P{XY}；(5分)(2)E(XY).(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现在对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.198