高等代数讲义【完整版】(文档可以直接使用，也可根据实际需要修订后使用,可编辑放心下载）上饶师范学院院级优质课程高等代数电子教案数学与计算机系高等代数教研室二零零二年五月高等代数电子教案多项式第一节数域多项式是代数学中最根本的对象之一，它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到。关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为代数性质。定义1设是由一些复数组成的集合，其中包括0与1。如果中任意两个数〔这两个数也可以相同〕的和、差、积商〔除数不为零〕仍然是中的数，那么就称为一个数域。如果数的集合中任意两个数作某一运算的结果都仍然在中，我们就说数集对这个运算封闭的。通常我们用表示有理数组成的集合，表示全体实数组成的集合，表示全体复数组成的集合。例1所有具有形式的数〔其中是任意有理数〕，构成一个数域。通常用来表示这个数域，显然数集包含0与1并且它对于加减法是封闭的。又都是有理数，所以也是有理数，即运算对乘法封闭。同理可得运算对除法封闭。例2所有可以表成形式的数组成一数域，其中为任意非负整数，是整数例3所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加法、减法不是封闭的。的整倍数的全体成一数集，它对于加、减法是封闭的，但对于乘除法不封闭。数域的一个重要性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一局部。一元多项式定义2设是一非负整数，形式表达式〔1〕其中全属于数域，称为系数在数域中的一元多项式，或者简称为数域中的一元多项式。在多项式〔1〕中，称为次项，称为次项的系数。以后用或等来表示多项式。定义3如果在多项式与中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么与就称为相等，记为系数全为零的多项式称为零多项式，记为0。在〔1〕中，如果那么称为多项式〔1〕首项，称为首项系数，称为多项式〔1〕的次数。零多项式是唯一不定义次数的多项式。多项式的次数记为。设是数域上的两个多项式。那么可以写成在表示与的和时，如为了方便起见，在中令那么与的和为而与的积为其中项的系数是所以可写成显然，数域上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域上的两个多项式。对于多项式的加减法，有对于多项式的乘法，可以证明，如果那么并且，即多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积。和数的运算一样，多项式的运算也满足下面的一些规律：加法交换律：加法结合律：乘法交换律：乘法结合律：乘法对加法的分配律：乘法消去律：如果且那么。定义4所有系数在数域中的一元多项式的全体，称为数域上的一元多项式环，记为称为的系数。整除的概念这一节以后各节的讨论都是在某一固定的数域P上的多项式环中进行的，以后不再重复说明了。带余除法对于中任意两个多项式与，其中一定有中的多项式存在，使〔1〕成立，其中或者并且这样的是唯一确定的。证明：〔1〕中和的存在性可以由上面所说的除法直接得出，用数学归纳法表达。如果取即可。以下设。令的次数分别为，对的次数作数学归纳法。当时，显然取〔1〕式成立。下面讨论的情形。假设当次数小于时，的存在已证。现在看次数为的情形。令分别是的首项，显然与有相同的首相，因而多项式的次数小于或为0。对于后者，取；对于前者，由归纳法假设，对有存在使其中或者。于是也就是说，有使成立。由归纳法原理，对任意的的存在性就证明了。下面证明唯一性。设另有多项式使其中或者。于是即如果，又根据假设那么且有但是所以上式不可能成立。这就证明了因此。带余除法中所得的通常称为除的商，称为除的余式。定义5数域上的多项式称为整除，如果有数域上的多项式使等式成立。我们用表示整除，用表示不整除当时，称为的因式，称为的倍式。当时，带余除法给出了整除性的一个判别法。定理1对于数域上的任意两个多项式，，其中的充分必要条件是除的余式为零。证明如果，那么，即。反过来，如果，那么即。带余除法中必须不为零。但中，可以为零，这时当时，如，除所得的商有时也用来表示。下面介绍整除性的几个常用的性质：如果，那么其中为非零常数。事实上，由有由有。于是如果为零，那么也为零，结论显然成立。如果那么消去就有从而。由此即得也就是说是一非零常数。如果，那么〔整除的传递性〕。显然，由即得。如果那么其中是数域上任意的多项式。通常称为多项式的一个组合。由以上性质可以看出，多项式与它的任一个非零常数倍有相同的因式，也有相同倍式。因之，在多项式整除性的讨论中，常常可以用来代替。最后我们指出，两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩