2024年高考数学（理科）真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若，则（）A.B.C.10D.2.已知集合，则（）A.B.C.D.3.若满足约束条件，则的最小值为（）A.B.C.D.4.记为等差数列的前项和，已知，，则（）A.B.C.D.5.已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.6.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A.B.C.D.7.函数在区间的图象大致为（）A.B.1/12C.D.8.已知，则（）A.B.C.D.9.设向量，则（）A.“”是“”的必要条B.“”是“”的必要条件件C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的充分条件10.设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或②若，则或③若且，则④若与,所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（）A.①③B.②④C.①②③D.①③④11.在中,内角所对的边分别为，若，，则（）A.B.C.D.12.已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（）A.1B.2C.4D.2/12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中，各项系数中的最大值为_______________．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为_______________．15.已知且，则_______________．16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为_______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计9652215017.1.17.2.已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.记为数列的前项和，已知．18.1.求的通项公式；18.2.设，求数列的前项和．19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，3/12，，，为的中点．19.1.证明：平面；19.2.求二面角的正弦值．20.已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．20.1.求的方程；20.2.过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．21.已知函数．21.1.当时，求的极值；21.2.当时，，求的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.22.1.写出的直角坐标方程；22.2.设直线l：（为参数），若与l相交于两点，若，求.[选修4-5：不等式选讲]23.已知实数满足．23.1.证明：；4/1223.2.证明：．参考答案1.A解析：结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.由，则.故选：A2.D解析：由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.因为，所以，则，故选：D3.D解析：画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.实数满足，作出可行域如图：由可得，即的几何意义为的截距的，则该直线截距取最大值时，有最小值，此时直线过点，联立，解得，即，则.故选：D.5/124.B解析：由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.由，则，则等