2012年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)曲线ᵆ=ᵆ2+ᵆ渐近线的条数为ᵆ2−1(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C。【解析】由ᵅᵅᵅᵆ=ᵅᵅᵅᵆ2+ᵆ=1=ᵅᵅᵅᵆ=ᵅᵅᵅᵆ2+ᵆ,ᵆ→+∞ᵆ→+∞ᵆ2−1ᵆ→−∞ᵆ→−∞ᵆ2−1得ᵆ=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由ᵅᵅᵅᵆ=ᵅᵅᵅᵆ2+ᵆ=∞得ᵆ=1是曲线的一条垂直渐近线；ᵆ→1ᵆ→1ᵆ2−1由ᵅᵅᵅᵆ=ᵅᵅᵅᵆ2+ᵆ=1得ᵆ=−1不是曲线的渐近线；ᵆ→−1ᵆ→−1ᵆ2−12综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数ᵅ(ᵆ)=(ᵅᵆ−1)(ᵅ2ᵆ−2)⋯(ᵅᵅᵆ−ᵅ),其中ᵅ为正整数，则ᵅ′(0)=(A)(−1)ᵅ−1(ᵅ−1)!(B)(−1)ᵅ(ᵅ−1)!(C)(−1)ᵅ−1(ᵅ)!(D)(−1)ᵅ(ᵅ)!【答案】A【解析】【方法1】令g(ᵆ)=(ᵅ2ᵆ−2)⋯(ᵅᵅᵆ−ᵅ),则ᵅ(ᵆ)=(ᵅᵆ−1)g(ᵆ)ᵅ′(ᵆ)=ᵅᵆg(ᵆ)+(ᵅᵆ−1)g′(ᵆ)ᵅ′(0)=g(0)=(−1)(−2)⋯(−(ᵅ−1))=(−1)ᵅ−1(ᵅ−1)!故应选A.【方法2】由于ᵅ(0)=0,由导数定义知ᵆ2ᵆᵅᵆᵅ′(0)=ᵅᵅᵅᵅ(ᵆ)=ᵅᵅᵅ(ᵅ−1)(ᵅ−2)⋯(ᵅ−ᵅ)ᵆ→0ᵆᵆ→0ᵆ(ᵅᵆ−1)=ᵅᵅᵅ∙ᵅᵅᵅ(ᵅ2ᵆ−2)⋯(ᵅᵅᵆ−ᵅ)ᵆ→0ᵆᵆ→0=(−1)(−2)⋯(−(ᵅ−1))=(−1)ᵅ−1(ᵅ−1)!.【方法3】排除法，令ᵅ=2,则ᵅ(ᵆ)=(ᵅᵆ−1)(ᵅ2ᵆ−2)ᵅ′(ᵆ)=ᵅᵆ(ᵅ2ᵆ−2)+2ᵅ2ᵆ(ᵅᵆ−1)ᵅ′(0)=1−2=−1则(B)(C)(D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A)【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念ᵰ2(3)设函数ᵅ(ᵆ
)连续，则二次积分∫2ᵅ
ᵰ∫ᵅ(ᵅ2)ᵅᵅ
ᵅ=02ᵅᵅᵆᵰ(A)∫2ᵅ
ᵆ∫√4−ᵆ2√ᵆ2+ᵆ2ᵅ(ᵆ2+ᵆ2)ᵅ
ᵆ0√2ᵆ−ᵆ2(B)∫2ᵅ
ᵆ∫√4−ᵆ2ᵅ(ᵆ2+ᵆ2)ᵅ
ᵆ0√2ᵆ−ᵆ22(C)∫2ᵅ
ᵆ∫√4−ᵆ√ᵆ2+ᵆ2ᵅ(ᵆ2+ᵆ2)ᵅ
ᵆ01+√1−ᵆ2(D)∫2ᵅ
ᵆ∫√4−ᵆ2ᵅ(ᵆ2+ᵆ2)ᵅ
ᵆ01+√1−ᵆ2【答案】B。【解析】令ᵆ=ᵅᵅᵅᵆᵆ=ᵅᵆᵅᵅᵰ,则ᵅ=2ᵰ,所对应的直角坐标方程为ᵆ2+ᵆ2=4,ᵅ=2ᵅᵅᵆ所对应的直角坐标方程为ᵰ(ᵆ−1)2+ᵆ2=1。ᵰ2由∫2ᵅ
ᵰ∫ᵅ(ᵅ2)ᵅᵅ
ᵅ的积分区域02ᵅᵅᵆᵰᵰ2ᵅᵅᵆᵰ<ᵅ<2,0<ᵰ<2得在直角坐标下的表示为√2ᵆ−ᵆ2<ᵆ<√4−ᵆ2,<ᵆ0<2ᵰ22√4−ᵆ2所以∫2ᵅ
ᵰ∫ᵅ(ᵅ2)ᵅᵅ
ᵅ=∫ᵅ
ᵆ∫ᵅ(ᵆ2+ᵆ2)ᵅ
ᵆ02ᵅᵅᵆᵰ0√2ᵆ−ᵆ2综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算(4)已知级数∑∞(−1)ᵅ√ᵅᵆᵅᵅ1绝对收敛，级数∑∞(−1)ᵅ条件收ᵅ=1ᵅᵯᵅ=1ᵅ2−ᵯ敛，则(A)0<ᵯ≤1(B)1<ᵯ≤122(C)1<ᵯ≤3(D)3<ᵯ<222【答案】D。【解析】由级数∑∞(−1)ᵅ√ᵅᵆᵅᵅ1绝对收敛，且当ᵅ→∞时ᵅ=1ᵅᵯ|(−1)ᵅ√ᵅᵆᵅᵅ1|~1，故α−1>1,即α>31ᵅᵯα−22ᵅ2量分布,ᵄ,ᵄ,ᵄ(2)(ᵰ>0)的简单随机样本，则(5)设ᵄ1234为来自总体ᵄ
1,ᵰᵄ−ᵄ统计量12的分布为|ᵄ3+ᵄ4−2|(A)ᵄ
(0,1)(B)ᵆ
(1)(C)ᵱ2(1)(D)ᵃ(1,1)【答案】B。【解析】ᵄ−ᵄ1，ᵄ−ᵄ~ᵄ
(0,2ᵰ2)，故12~ᵄ
(0,1)；12√2σᵄ+ᵄ−22，ᵄ+ᵄ−2~ᵄ
(0,2ᵰ2)，故34~ᵄ
(0,1)，34√2σ