.1988年数学试题参考解答及评分标准1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数学（试卷一）一．(本题满分15分，每小题5分)(x3)n(1)求幂级数的收敛域.n3nn1(x3)n1(n1)3n1n11解：因limlimx3x3,故x31即0x6时，n(x3)nn3(n1)33n3n幂级数收敛.„„3分1当x0时，原级数成为交错级数(1)n，是收敛的.„„4分nn11当x6时，原级数成为调和级数，是发散的.„„5分nn1所以，所求的收敛域为0,6.(2)已知f(x)=xe2,f(x)=1-x,且(x)0.求(x)并写出它的定义域.解：由e[(x)]21x，得(x)ln(1x).„„3分由ln(1x)0，得1x1即x0.„„5分所以(x)ln(1x)，其定义域为(,0).(3)设S为曲面x2y2z21的外侧，计算曲面积分Ix3dydzy3dxdxz3dxdy.s解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有I3(x2y2z2)dv（其中是由S所围成的区域）„„2分213ddr2r2sindr„„4分00012.„„5分51988年•.1988年数学试题参考解答及评分标准二、填空题：(本题满分12分，每小题3分)1(1)若f(t)=limt(1)2tx，则f(t)(2t1)e2txx2,1x0(2)设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间1,1上的定f(x)=,则f(x)的付立叶级x3,0x12数在x=1处收敛于.331(3)设f(x)是连续函数，且x1f(t)dtx,则f(7)=.012(4)设4*4矩阵A=(,)，B=(,)，其中，,,,均为4维列向量，2,3,42,3,423,4且已知行列式A4,B1,则行列式AB=.40.三、选择题(本题满分15分，每小题3分)1(1)若函数y=f(x)有f(x)，则当x0时，该函x=x处的微分dy是(B)020(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设yf(x)是方程y2y4y0的一个解，若f(x)0，且f(x)0，则函数0f(x)在点x(A)0(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某个邻域内单调增加(D)某个邻域内单调减少(3)设有空间区域:x2y2z2R2,z0;及:x2y2z2R2,x0,y0,z0,则(C)12(A)xdv4xdv(B)ydv4ydv1212(C)zdv4zdv(D)xyzdv4xyzdv1212(4)若a(x1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处(B)nn1(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组,,,(3sn)线性无关的充分必要条件是(D)12s(A)有一组不全为0的数k,k,,k,使kkk0.12s1122ss(B),,,中任意两个向量都线性无关.12s(C),,,中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.12s(D),,,中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.12s四．(本题满分6分)1988年•.1988年数学试题参考解答及评分标准xy2u2u设uyf()xg()，其中f,g具有二阶连续导数，求xy.yxx2xyuxyyy解：fgg.„„2分xyxxx2u1xy2yfg.„„3分x2yyx3x2uxxyyfg.„„5分xyy2yx2x2u2u所以xy0.„„6分x2xy五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程y3y2y2ex,且图形在点(0，1)处的切线与曲线yx2x1在该点的切线重合，求函数yy(x).解：对应齐次方程的通解为YCexCe2x.„„2分12设原方程的特解为y*Axex,„„3分得A2.„„4分故原方程通解为y(x)