第一章绪论习题参考答案ε（lnx）≈。。有5位有效数字，有2位有效数字，有4位有效数字，有5位有效数字，有2位有效数字。。。。，。。，，故t增加时S的绝对误差增加，相对误差减小。，计算过程不稳定。，如果令，则，，，，，的结果最好。，开平方时用六位函数表计算所得的误差为，分别代入等价公式中计算可得，。方程组的真解为，而无论用方程一还是方程二代入消元均解得，结果十分可靠。第二章插值法习题参考答案1.；.2..3.线性插值：取，则；二次插值：取，则＝－0.616707.4.，其中.所以总误差界.5.当时，取得最大值.6.i)对在处进行n次拉格朗日插值，则有由于，故有.ii)构造函数在处进行n次拉格朗日插值，有.插值余项为，由于故有令即得.7.以a,b两点为插值节点作的一次插值多项式，据余项定理，，由于故8.截断误差其中则时取得最大值.由题意，所以，9.则可得，，则可得10.数学归纳法证当时，为m－1次多项式；假设是m-k次多项式，设为，则为m-(k+1)次多项式，得证。11.右左12.13..14.由于是的n个互异的零点，所以对求导得，则，记则由以上两式得15.i).ii)证明同上。16.17.即均为的二重零点。因而有形式：作辅助函数则由罗尔定理，存在使得类似再用三次罗尔定理，存在使得又可得即18.采用牛顿插值，作均差表：一阶均差二阶均差01201110-1/2又由得所以19.记则因为，所以在上一致连续。当时，，此时有由定义知当时，在上一致收敛于。20.在每个小区间上表示为计算各值的C程序如下：#include"stdio.h"#include"math.h"floatf(floatx){return(1/(1+x*x));}floatI(floatx,floata,floatb){return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b));}voidmain(){inti;floatx[11],xc,xx;x[0]=-5;printf("x[0]=%f\n",x[0]);for(i=1;i<=10;i++){x[i]=x[i-1]+1;printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}for(i=0;i<10;i++){xc=(x[i]+x[i+1])/2;I(xc,x[i],x[i+1]);printf("I[%d]=%f\n",i+1,I(xc,x[i],x[i+1]));}for(i=0;i<10;i++){xx=(x[i]+x[i+1])/2;f(xx);printf("f[%d]=%f\n",i+1,f(xx));}}21.在每个小区间上为22.则在每个小区间上表示为23.则三次样条插值函数表达式为i)由，得，关于的方程组为24.i)因为所以右＝＝左。ii)由于为三次函数，故为常数，又，则，所以。第三章函数逼近与计算习题参考答案(a)区间变换公式为，代入原公式可得新区间里的伯恩斯坦多项式为;(b)，相应的麦克劳林级数分别为，部分和误差则为，，大于伯恩斯坦多项式的误差。，故，当时，。，对任意不超过6次的多项式，在时，若有，则在上至少有7个零点，这与不超过6次矛盾，所以，就是所求最佳一致逼近多项式。设所求为，，由47页定理4可知在上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为的最大值和最小值处，故由可以解得即为所求。原函数与零的偏差极大值点分别为，故，解方程可得出唯一解。，故，得，，故所求最佳一次逼近多项式为，又因为两个偏差点必在区间端点，故误差限为。，故由可以解得，，则有，故所求最佳一次逼近多项式为。切比雪夫多项式在上对零偏差最小，所求函数必为切比雪夫多项式的常数倍，，解得唯一解。作变换代入得，则在上的三次最佳逼近多项式为，作逆变换代入，则在上的三次最佳逼近多项式为。，，，，其中。，故正交。用的4个零点做插值节点可求得三次近似最佳逼近多项式为。，则有，其中。由拉格朗日插值的余项表达公式可得出，令，则待证不等式成立，得证。由泰勒级数项数节约，在上有，即其中误差限为。，取为的近似，误差限为，再对幂级数的项数进行节约就可以得到原函数的3次逼近多项式，其误差限为，即为所求当为上的奇函数时，设为原函数的最佳逼近多项式，则，对有，所以也是最佳逼近多项式，由最佳逼近多项式的唯一性，，即是奇函数。同理可证，当为上的偶函数时，最佳