PAGE\*MERGEFORMAT10定积分及其应用数学科学学院学号：指导老师：摘要：积分学是数学分析中的主要内容,它主要分为定积分和不定积分.因此要了解积分学就必须了解它的的重要部分——定积分,定积分在数学方面有着广泛的应用,与此同时,它在物理学的研究上也有着举足轻重的作用.本论文重点叙述了定积分的计算,以及应用.关键词：分割;可积;换元;定积分应用1定积分的认识1.1定义定义1设闭区间上有个点,为把分成个小区间这些闭子区间或这些分点为对的一个分割,记为.小区间的长度为并记,称为分割的模.定义2设是定义在上的一个函数,的一个分割任取点作和式其为函数在上的一个积分和.定义3设是定义在上的一个函数,是一个确定的实数,假如任给的正数,都可以找到某一正数,使得对的任一分割,及在其上任意选取的点集,只要,有,函数在区间上称为可积或黎曼可积;称为在上的黎曼积分或定积分,记.例1利用定积分求下列极限.解可以进行如下计算：==这是函数=在区间上的一个积分和的极限.这里所取的是等分分割,的右端点,所以有.1.2可积条件1.2.1可积的必要条件若函数在上可积,则上必有界.例2证明狄利克雷函数在[0,1]上不可积可是有界.证显然对于的任一分割,在属于的任一小区间上,当取全为有理数时，;当取全为无理数时,0.所以不论是什么,只要点集取法不同,积分和就会有不同的极限,即在上是不可积的.1.2.2可积的充要条件任给函数总可以找到一个相应的分割,使得这是函数在上可积的充要条件.1.2.3可积的充分条件已经熟知可积的三个充分条件,下面来讨论第四个可积函数类.第四个可积函数类,接下来用例题的形式给出.例3设在上为有界函数,.证明:若在上仅有为其间断点,上可积.分析此题的关键是如何处理无穷多个间断点,不妨设取合适的使,再利用上可积,则可以判断出该函数必定存在得上的分割,有证明，所以存在,当时,,上至多有有限个间断点,由定理知上可积,因此,存在上的分割,使把合并,就构成的一个分割,则.（这时为在上的振幅),故可以得出结论.2定积分的计算方法2.1根据定义计算第一步：分割.第二步：求和.第三步：取极限.例4求使得,要求解将区间等分,由定积分的定义可得=,其中，因为函数在上单调递增,所以.从而.此时有-=取则有,.2.2牛顿-莱布尼茨公式定理1若函数上连续，且原函数存在，也就是那么在上可积,并且有.例5求.解=.例2求.解==.2.3换元积分法定理2若在上连续,上可积,并符合则有.例6设函数在上为连续的,请证明：=.证明设,则=,设,则,由以上两个式子即得=.例7计算解令当时,由1减到0,则有2.4定积分分部积分法若为上的可微函数,且在上可积,则有定积分分部积分公式：.例8计算.解==.例9设,求证:证做变换,则从而,当时,有2.5利用递推公式求定积分例10设为大于1的整数,计算:,并证明.解=+==,所以=,因为当时,,故,从而得到,,即.2.6利用周期函数例11计算解以为周期,则有3定积分的应用学习定积分,认识定积分,不仅仅是为了会计算,而是应该把定积分的知识应用到日常生活中,以定积分为工具,解决实际生活中的问题,让数学知识更好更大地发挥作用.就如同下面的例子,定积分可以用来计算面积,体积,变力做功以及万有引力,这就是数学的魅力所在.3.1定积分在数学中的应用3.1.1求平面图形的面积设为上,由直线,,轴及所围成的.通常情况下,由两条连续曲线一上一下及两条直线,.例12求所围的面积.解.例13求所围成的.解化为.则.3.1.2由截面面积求旋转体的体积设,是由绕轴所得的,则截面面积函数是旋转体的由知,为.例14曲线体积.解=.3.2定积分在物理中的应用3.2.1变力做功例15小球在地面按,小球.计算解，其中,故.3.2.2引力例16设有一重,在且均匀的,求细杆之间的解距原点处,与之间的质量产生的引力记为故有,.结论本论文主要从定积分的相关理论入手,重点探讨了定积分的定义,计算办法,以及在实践生活中的运用.通过对定积分计算方法的总结,我们对定积分有了更系统的认识;通过对定积分应用的总结我们对定积分的重要性有了更精确的掌握.参考文献：[1]华东师大数学系编.数学分析(第四版上)[M].高等教育出版社,2010.[2]张天德.韩振来.数学分析辅导及习题精解[M].延边大学出版社,2011,7.[3]钱吉林等.数学分析习题