第三章指数函数和对数函数指数函数、幂函数、对数函数是高中课程中的三大基本函数，下面以函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x为例探究一下它们的差异．问题1：这三种函数在(0，＋∞)上的单调性怎样？提示：都是单调递增．问题2：右图是同一直角坐标系中三个函数的图像，当log2x<2x<x2时，x的范围是什么？提示：2<x<4.问题3：当log2x<x2<2x时，x的取值范围是什么？提示：0<x<2或x>4.问题4：从三种函数图像的比较，当自变量x越来越大时，它们的增长速度怎样？提示：2x的值迅速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．当a＞1时，指数函数y＝ax是，并且当a越时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝logax是，并且当a越时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是，并且当x>1时，n越其函数值的增长就越快．1．对数函数y＝logax，当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度平缓(越来越慢)．2．指数函数y＝ax，当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度急剧(越来越快)，常用“指数爆炸”来形容．3．幂函数y＝xn，当n>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度相对平稳．[例1]函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像，如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2010)，g(2010)的大小．[思路点拨]先观察图像，比较相关区域函数值的大小，最后得出结论．[精解详析](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x；提示：0<x<2或x>4.解析：a、c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2010)，g(2010)的大小．解析：a、c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；[精解详析](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x；由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，[一点通]解决这类题目的关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.天)的数据如下表：解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝提示：0<x<2或x>4.问题3：当log2x<x2<2x时，x的C．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2[一点通]底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比底数大于1的对数函数模型增长要快，从这个实例我们可以体会到对数增长、直线上升、指数爆炸等不同函数类型增大的含义．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.C．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.问题2：右图是同一直角坐标系中三个函数的图像，当log2x<2x<x2时，x的范围是什么？指数函数、幂函数、对数问题2：右图是同一直角坐标系中三个函数的图像，当log2x<2x<x2时，x的范围是什么？当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报[一点通]底数大