2021年考研数学三真题及解析2022年考研数学〔三〕真题一、填空题：1－6小题，每题4分，共24分.把答案填在题中横线上.〔1〕n11nlim______.nn〔2〕设函数在的某邻域内可导,且，，f(x)x2fxefxf21那么f2____.〔3〕设函数可微,且1,那么在点(1,2)处f(u)f0zf4x2y22的全微分dz_____.1,2〔4〕设矩阵21，为2阶单位矩阵，矩阵满足AEB12BAB2E，那么B.〔5〕设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，那么PmaxX,Y1_______.〔6〕设总体的概率密度为1为总Xfxexx,X,X,,X212n体的简单随机样本，其样本方差为，那么XS2ES2____.二、选择题：7－14小题，每题4分，共32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.〔7〕设函数yf(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0，x为自变量x在点x处的增量，y与dy分别为f(x)在点x处对应的00增量与微分，假设x0，那么-2-(A)0dyy.(B)0ydy.(C)ydy0.(D)dyy0.[]fh2〔8〕设函数fx在x0处连续，且lim1，那么h0h2(A)f00且f0存在(B)f01且f0存在(C)f00且f0存在(D)f01且f0存在[]〔9〕假设级数a收敛，那么级数nn1(A)收敛.〔B〕收敛.a(1)nannn1n1(C)收敛.(D)aa收敛.aann1nn12n1n1[]〔10〕设非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)有两个不同的解y(x),y(x),C为任意常数，那么该方程的通解是12〔Ａ〕Cy(x)y(x).〔Ｂ〕y(x)Cy(x)y(x).12112〔Ｃ〕Cy(x)y(x).〔Ｄ〕y(x)Cy(x)y(x)12112[]〔11〕设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且(x,y)0，(x,y)是f(x,y)y00在约束条件(x,y)0下的一个极值点，以下选项正确的选项是-3--4-PX1PY112那么必有(A)(B)1212(C)(D)1212[]三、解答题：15－23小题，共94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值7分〕x1ysinyy设fx,y,x0,y0,求1xyarctanx(Ⅰ)gxlimfx,y；y(Ⅱ)limgx.〔16〕〔此题总分值x07分〕计算二重积分，其中是由直线所y2xydxdyDyx,y1,x0D围成的平面区域.〔17〕〔此题总分值10分〕证明：当0ab时，bsinb2cosbbasina2cosaa.〔18〕〔此题总分值8分〕在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M1,0，其上任意点Px,yx0处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax-5-〔常数a>0〕.(Ⅰ)求L的方程；8(Ⅱ)当L与直线yax所围成平面图形的面积为时，3确定a的值.〔19〕〔此题总分值10分〕n11x2n1求幂级数的收敛域及和函数s(x).n2n1n1〔20〕〔此题总分值13分〕设4维向量组1a,1,1,1T,2,2a,2,2T,3,3,3a,3T,123，问为何值时线性相关?当4,4,4,4aTa,,,,,,412341234线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.〔21〕〔此题总分值13分〕设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.1,2,1T,0,1,1TAx012(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵,使得；QQTAQ〔Ⅲ〕求及36，其中为3阶单